第11讲 8.6.1 直线与直线垂直
学习目标
第11讲 8.6.1 直线与直线垂直
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系。 ②.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角。 | 1、本节内容包含异面直线所成的角的定义，以及直线与直线垂直教材以正方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系和异面直线所成的角的定义通过平移来研究异面直线所成的角是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题 2.通过本节课的学习，为学生后面学习空间直线、平面的垂直关系打下基础，同时更好地提升学生直观想象和逻辑推理等数学学科核心素养 |
知识清单
知识点01：异面直线所成角的概念
已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的
角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
知识点02：异面直线所成角的范围
由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即.
注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是.
知识点3：两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直，
记作.
注意：两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.
知识点04：异面直线所成的角的求解步骤
①构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.
②证明：证明作出的角就是要求的角
③计算：求角度（常利用三角形的有关知识）
④结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就
是所求异面直线所成的角.
题型精讲
【即学即练1】（2024上·上海·高二专题练习）已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是 ．
题型01 判断两直线是否为异面直线
【典例1】（2024上·上海·高二专题练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（ ）
A．③④B．①②C．①③D．②④
【典例2】（2024上·北京海淀·高二统考期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）．
【典例3】（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 .
①②③④
【变式1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是 ．
【变式3】（2023上·上海·高二校考期中）在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条.
题型02 求异面直线所成的角
【典例1】（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（ ）
A．1B．C．1或2D．2或
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为 ．
【变式1】（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）在长方体中，，则异面直线的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 .
题型03证明异面直线垂直
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）四面体ABCD中，对棱，E，F，G，H是它们所在棱的中点，求证：四边形EFGH是矩形．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
【变式1】（2023下·全国·高一专题练习）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：.
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD.
题型04异面直线公垂线问题
【典例1】（2023上·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且（称为异面直线的公垂线）．已知，，，则公垂线 ．
【典例2】（2023上·高二课时练习）（1）已知正方体的棱长为a，则异面直线与AD公垂线是 ．
（2）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是 ．
（3）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是 ．
（4）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是 ．
【变式1】（2023上·高二课时练习）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线 ．
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.求证：MN为AB和CD的公垂线.
题型04根据异面直线所成角求参数
【典例1】（2024上·四川内江·高二统考期末）如图，空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，并且异面直线与所成的角为，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【典例2】（2023上·广西南宁·高二南宁三中校联考期中）如图，由矩形与矩形构成的二面角为直二面角，为中点，若与所成角为，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
【典例3】（2023·上海青浦·统考一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．
(1)求证：平面；
(2)若直线与所成的角大小为，求的长．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在正四面体中，为中点，是棱上的动点，则当异面直线与所成角的正弦值最小时，（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（多选）（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（ ）
A．B．C．5D．
题型05与已知直线成角的直线条数问题
【典例1】（2023上·上海奉贤·高二校联考期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例2】（2024上·上海·高二专题练习）异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有n条直线与a，b所成的角相等且等于45°，则n＝ ．
【典例3】（2023上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是 .
【变式1】（2023上·安徽·高二合肥一中校联考阶段练习）已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【变式2】（2023下·上海·高二专题练习）正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为 .
【变式3】（2023·上海·高二专题练习）已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是 .
强化训练
一、单选题
1．（2012·北京·统考一模）若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（ ）
A．一定平行B．一定垂直
C．一定是异面直线D．一定相交
2．（2019上·山西朔州·高二阶段练习）如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
3．（2017上·陕西西安·高一西安中学校考期末）在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．（2014·全国·高三专题练习）如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与
A．互相平行B．异面且互相垂直C．异面且夹角为D．相交且夹角为
5．（2019上·青海西宁·高二西宁四中阶段练习）设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线( )
A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条
6．（2023下·陕西安康·高二统考期末）在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·辽宁·高一校联考期末）在直三棱柱中，，，为四边形的中心，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023下·全国·高一专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M､N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是
A．与平行B．与为异面直线
C．与成60°角D．与垂直
10．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）．
A．存在某个位置，使得CN⊥AB1；
B．翻折过程中，CN的长是定值；
C．若AB＝BM，则AM⊥B1D；
D．若AB＝BM＝1；当三棱锥B1－AMD的体积最大时；三棱锥B1－AMD的外接球的表面积是4π．
三、填空题
11．（2023下·全国·高一专题练习）已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有 条．
12．（2023·全国·高一专题练习）平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为 .
四、解答题
13．（2023·全国·高一专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.
14．（2023上·上海宝山·高二校考阶段练习）在直三棱柱中，，，，、分别为棱、的中点．
(1)求异面直线与所成角的正切值；
(2)求三棱锥的全面积.
1．（2023·高二单元测试）如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A．B．C．D．
3．（多选）（2023下·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球半径为
D．异面直线与所成角的余弦值为
4．（多选）（2023下·广东深圳·高一深圳市龙华中学校考期中）（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．截面PQMN
C．D．异面直线与所成的角为
5．（2023下·全国·高一专题练习）如图，已知圆锥的正视图是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
