第10讲 8.5.3 平面与平面平行

【即学即练1】（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考阶段练习）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列四个推断：

【即学即练2】（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则 .

【典例1】（2023下·山西太原·高一校联考阶段练习）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有 个．

【典例2】（2023·高一课时练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是 ．（写出所有符合条件的序号）

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面；

【典例4】（2023下·辽宁阜新·高一校考期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）如图，三条直线、、不共面，但交于一点，若，，，那么平面和平面的位置关系是 ．

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .

【变式3】（2023上·高二课时练习）已知S是等边△ABC所在平面外一点，D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 ．

【变式4】（2023·全国·高三专题练习）如图，几何体为直四棱柱截去一个角所得，四边形是正方形，，，为的中点．证明：平面平面；

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由．

【典例2】（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点.

【典例3】（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面

【变式1】（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．

【变式3】（2023下·陕西铜川·高一校考期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

【典例1】（2024·全国·高一假期作业）如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（    ）

【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：.

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.点在线段上，且平面，试确定点的位置.

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：.

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，平面ADE，．求证：．

【变式3】（2023下·高一课时练习）如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：．

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．

【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．当为多少时，直线平面？

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）直四棱柱中，，求证：平面.

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三等分点．

【变式3】（2024·全国·高三专题练习）已知正方形和正方形，如图所示，、分别是对角线、上的点，且．求证：平面．

【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）正四棱柱中，，M是的中点，点N在棱上，，则平面AMN与侧面的交线长为（    ）

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；

【变式1】（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，过点做平面，使得平面平面，则平面与正方形的交线的长度为 ．

【变式2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点．

1．（2024上·湖南长沙·高二雅礼中学校联考期末）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（    ）

2．（2024上·北京·高三阶段练习）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（    ）

3．（2024·全国·高一假期作业）在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，则点满足什么条件时，有平面∥平面．（    ）

4．（2024·全国·高一假期作业）在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（    ）

5．（2024·全国·高一假期作业）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:

6．（2024上·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（    ）

7．（2023下·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）设直线，平面，则下列条件能推出的是（    ）

8．（2023·河南新乡·统考二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（    ）

9．（2023下·陕西渭南·高一校考期末），，是三个平面，，是两条直线，下列四个命题中错误的是（    ）

10．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，设P，Q分别为，的中点，则过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状可能为（    ）

11．（2024·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为 ．

12．（2024·黑龙江伊春·高二伊春二中校考学业考试）已知是三条不重合直线，是三个不重合平面，下列说法：

13．（2024·全国·高三专题练习）如图，平面ADE，．求证：．

14．（2024·全国·高三专题练习）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，．

15．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面.

16．（2024·全国·高三专题练习）直四棱柱中，，求证：平面.

1．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若平面，则动点F的轨迹长度为（    ）

2．（2024·全国·高一假期作业）如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（    ）

3．（2024·全国·高三专题练习）如图，点、、、、为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ）

4．（2024上·湖北武汉·高二校联考期末）如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为 .

5．（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为2， E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为 ，若F是侧面上的动点，且满足平面，则点F的轨迹长度为 .

6．（2024·全国·高三专题练习）在正三棱柱中，底面边长为1，侧棱长为且为的中点，那么在上是否存在一点，使得过的平面把该三棱柱分成等积的两个几何体？

7．（2024·全国·高一假期作业）如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．