第09讲 8.5.2 直线与平面平行

【即学即练1】（2024·全国·高二专题练习）能保证直线a与平面α平行的条件是（    ）

【即学即练2】（多选）（湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（    ）

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（    ）

【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？

【典例3】（2024上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，、分别为、的中点.

【变式1】（多选）（2024上·江西南昌·高三统考开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（  ）

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.

【变式3】（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面是菱形，，分别是，的中点．求证：平面.

【典例1】（2023上·北京·高二北师大二附中校考期中）已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ）

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是 ．（写出一种即可）

【典例3】（2023·高一课时练习）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．

【变式1】（2024·全国·高一假期作业）在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ）

【变式2】（多选）（2023下·全国·高一专题练习）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（    ）

【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件 时，A1P平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．

【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）木工小罗在处理如图所示的一块木料时，发现该木料表面内有一裂纹，已知平行于平面AC．他打算经过点M和棱将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，为线段的中点，平面与棱相交于点.

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．设平面与平面相交于直线，求证：.

【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，点A，B分别位于异面直线a，b上，过AB中点O的平面与a，b都平行，M，N分别是a，b上异于A，B的另外两点，MN与交于点P．求证：P是MN的中点．

【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）空间四边形中，点为边上的点，且，求证：.

【典例1】（2023下·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）

【典例2】（2023上·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且平面，则 .

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.

【变式1】（2023上·上海浦东新·高三校考期中）如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．

【变式2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，若平面，则 .

【变式3】（2023下·全国·高一随堂练习）A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时， ．

【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（    ）

【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在和上，并且，平面，则线段的长为 ．

【典例3】（2023下·高一课时练习）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ）

【变式2】（2023下·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为 .

【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长．

1．（2024·全国·高一假期作业）若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（    ）

2．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形是梯形，，且平面，M是AC的中点，与平面交于点N，，，则等于（    ）

3．（2023下·全国·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）

4．（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）已知四棱柱，则下面四条直线中与平面平行的是（    ）

5．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点， 平面，则的长度为（    ）

6．（2024·全国·高一假期作业）已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论：

7．（2024·全国·高一假期作业）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（   ）

8．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（    ）

9．（2024上·江西南昌·高三统考开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（  ）

10．（2023下·贵州黔东南·高一校考阶段练习）若直线平面，且直线不平行于平面.给出下列结论正确的是（    ）

11．（2024上·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 .

12．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时， .

13．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.

14．（2024上·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：.

1．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，若平面，则 .

2．（2023·四川·校联考模拟预测）在正四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为 ；若线段上存在一点P，使得，则 ．

3．（2023下·全国·高一专题练习）设P，E，F分别是长方体的棱，，的中点，且，M是底面上的一个动点，若平面，则线段长度的最小值为 .

4．（2023下·全国·高一专题练习）如图，长方体的底面是正方形.其侧面展开图是边长为4的正方形，E、F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面，则的长= .

5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.