第08讲 第九章 统计 章节验收测评卷

第08讲 第九章 统计 章节验收测评卷

1．（2023下·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考阶段练习）某校在一次期中作业检查中，对高一（6）班61位同学的作业进行抽样调查，先采用抽签法从中剔除一个人，再从余下的60人中随机抽取6人，下列说法正确的是（    ）

A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会

B．每个人被抽到的机会不相等

C．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会相等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是相等的

D．由于采用了两步进行的抽样，所以无法判断每个人被抽的可能性是多少

【答案】C

【分析】根据随机抽样的特征，即可判断出结果.

【详解】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取6人对每个人的机会也是均等的，

所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.

故选：C.

2．（2023下·陕西西安·高一期中）某班有50人，其中30名男生，20名女生，现调查平均身高，已知男、女生身高明显不同，抽取一个容量样本为10的样本，则抽出的男、女生人数之差为（ ）

A．5B．4

C．3D．2

【答案】D

【分析】根据分层抽样的概念求出抽出的男、女生人数，进而求出答案.

【详解】抽出的男生人数为，女生人数为，

故抽出的男、女生人数之差为.

故选：D

3．（2023·全国·高三专题练习）某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成准分（最高为100分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于75分的企业数为（    ）

A．30B．60C．70D．130

【答案】A

【分析】根据频率分布直方图可得频率，即可求解个数.

【详解】解：根据频率分布直方图，标准分不低于75分的企业的频率为：

，

∴标准分不低于75分的企业数为（家）．

故选：A．

4．（2023上·河北保定·高三保定市第三中学校联考期末）新高考在赋分时，先根据考生原始分划定等级，再根据该等级下考生原始分数的排名进行赋分（赋分均为整数），某校在高三年级某次化学模拟考试中对全校1000人进行赋分，一同学该科目全校排名300名，则其赋分为（    ）（保留整数）

A．80B．79C．78D．77

【答案】B

【分析】根据百分位数的计算方法，可得答案.

【详解】由题意可知：，该同学被划定为等级B，设其赋分为，

则，解得.

故选：B.

5．（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：

下列说法正确的是（    ）

A．甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小

B．甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小

C．甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小

D．甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大

【答案】C

【分析】A.利用平均数公式求解判断；B.利用中位数定义求解判断；C.根据折线图的波动判断；D.利用极差的定义求解判断.

【详解】解：甲的数据：，乙的数据：，

A．甲投中个数的平均数为，

乙投中个数的平均数为，故错误；

B. 甲的数据从小到大排序为：，则中位数为，

乙的数据从小到大排序为：，则中位数为，故错误；

C. 由折线图知：甲的波动相对乙的波动较小，所以甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小，故正确；

D.甲投中个数的极差为10-6=4，乙投中个数的极差为：10-3=7，故错误，

故选：C

6．（2023·全国·模拟预测）已知样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则数据的平均数为32

B．若，则数据的平均数为16

C．若，则数据的方差为81

D．若，则数据的方差为25

【答案】D

【分析】先推出的平均数为，方差为，从而得到ABCD的正误.

【详解】已知样本数据的平均数为，方差为，

记数据的平均数为，方差为，

则

，

，

故A中的平均数为，A错误；

B中的平均数为，B错误；

C中的方差为，C错误；

D中的方差为．D正确.

故选：D．

7．（2023上·四川成都·高二统考期中）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校甲、乙两个班共70人（甲班40人，乙班30人）参加了共产主义青年团知识竞赛，甲班的平均成绩为77分，方差为123，乙班的平均成绩为70分，方差为130，则甲、乙两班全部同学的成绩的方差为（    ）

A．74B．129C．136D．138

【答案】D

【分析】直接由总样本方差公式计算求解即可.

【详解】设甲班平均成绩为，方差为，乙班平均成绩为，方差为，

总体平均成绩为，方差为，

由题知，

则由总样本方差公式，

可得甲，乙两班全部同学的成绩的方差为.

故选：D

8．（2023下·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（    ）

A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟

B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高

C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80

D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟

【答案】D

【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择．

【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人，占，故A正确；

第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为

，

第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为

，

所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故B正确；

这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为79，81，中位数为，故C正确；

第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为84，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为74.7，故D错误；

故选：D．

9．（2024上·河南焦作·高一统考期末）已知一组数据，由生成一组新数据，，…，，则（   ）

A．新数据的平均数一定比原数据的平均数大

B．新数据的中位数一定比原数据的中位数大

C．新数据的标准差一定比原数据的标准差大

D．新数据的极差一定比原数据的极差大

【答案】CD

【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，得到新数据的标准差和极差都是原数据的2倍，且这两个量都大于0，从而CD正确.

【详解】对于A，设的平均数为，即，

则新数据，，…，的平均数为，

故，

当时，，故A错误，

对于B，设的中位数为，由于单调递增，

则新数据，，…，的中位数为，

当时，，故B错误；

对于C，设的标准差为，则，

故新数据，，…，的平均数，

故新数据的方差为，

故新数据的标准差为，

由于，故，C正确；

对于D，设的极差为，由于单调递增，

故新数据极差为，由于，故新数据的极差比原数据的大，D正确.

故选：CD

10．（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）某校4个班级学生的一次物理考试成绩的频率分布直方图如下，已知成绩在范围内的人数为30人，则下列说法正确的是（    ）

A．的值为0.15B．4个班的总人数为200人

C．学生成绩的中位数估计为66.6分D．学生成绩的平均数估计为71分

【答案】BD

【分析】对A，根据直方图频率和为1求解即可；对B，根据成绩在范围内的人数为30人求解即可；对C，根据小于等于中位数的频率和为0.5求解即可；对D，以每组中间值作为平均值求解即可.

【详解】对A，，解得，故A错误；

对B，成绩在范围内的频率为，故4个班的总人数为人，故B正确；

对C，因为，故学生成绩的中位数估计为70分，故C错误；

对D，学生成绩的平均数估计为

分，故D正确.

故选：BD

11．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（    ）

A．甲地区：平均数为90，方差为10B．乙地区：平均数为60，众数为50

C．丙地区：中位数为50，极差为70D．丁地区：极差为20，80%分位数为80

【答案】AD

【分析】根据平均数、方差、众数、中位数、极差、百分位数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】设每天的空气质量指数为（，2，…，10），则方差.

对于A，由，得，若这10天中有1天的空气质量指数大于100，则必有，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都不大于100，故A正确；

对于B，假设有8天为50，有1天为140，有1天为60，此时平均数为60，众数为50，但该地区的环境治理不达标，故B错误；

对于C，假设第1天为120，后面9天为50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环境治理不达标，故错误；

对于D，如果最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于80，这与分位数为80矛盾，故最大值不大于100，故D正确.

故选：AD

12．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（    ）

A．设总样本的平均数为，则

B．设总样本的平均数为，则

C．设总样本的方差为，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】对于A选项，因为，由放缩可得；

对于B选项，举例说明B不正确；

对于C选项，举例说明C不正确；

对于D选项，若，代入总体方差计算公式，可得.

【详解】对于A选项，因为，所以

，即，A正确；

对于B选项，取第一部分数据为，则，，取第二部分数据为，则，，则，B不正确；

对于C选项，取第一部分数据为，则，，

取第二部分数据为，则，，则，

，C不正确；

对于D选项，若，则，D正确.

故选：AD.

13．（2024上·上海·高二上海中学校考期末）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为 .

【答案】

【分析】直接根据频率计算人数即可.

【详解】根据频率分布直方图得

该校的学生成绩不低于60分的学生人数为.

故答案为：

14．（2024上·全国·高三期末）已知总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5个数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第5个个体编号为 ．

【答案】01

【分析】根据题意，结合随机数表，即可依次读取.

【详解】由题意，依次读取的数字是08，02，14，07，01，

所以第5个个体编号是01.

故答案为：01

15．（2024·全国·高三专题练习）近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识.2021年10月，《中华人民共和国体育法》在颁布20多年后迎来首次大修.教育部发布的2022年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划.为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的第80百分位数是 .

【答案】9

【分析】设5个数据分别为.先由平均数和方差列方程，求出样本数据为4,6,7,8,10.再按百分位数的定义直接求解.

【详解】设5个数据分别为.

由题意可得：.

由于5个数的平方和为20,则必为0+1+1+9+9=20.

由解得：或4；由解得：或8，故样本数据为4,6,7,8,10.

因为，所以样本数据的第80百分位数为.

故答案为：9

16．（2023下·高一单元测试）已知样本的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20，且样本的中位数为10.5，则 ；若要使该样本的方差最小，则 .

【答案】 21 110

【分析】根据中位数的定义可得与的关系，要使样本的方差最小， 即最小，利用与的关系消去，得关于的一元二次式，利用配方法可求出函数的最小值，进而可得和的值，从而即可得的值.

【详解】解：因为样本的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，20，且样本的中位数为10.5，

所以，即；

所以样本平均数为，

要使样本方差最小，即最小，

又因为，

因为，

所以当或时，取得最小值，

又，

所以或，

所以.

故答案为：21；110.

17．（2024·广东·高三学业考试）仓廪实，天下安．习近平总书记强调：“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：）：

甲：29，31，30，32，28；

乙：27，44，40，31，43．

请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：

(1)哪种玉米苗长得高？

(2)哪种玉米苗长得齐？

【答案】(1)乙种玉米苗长得高

(2)甲种玉米苗长得齐

【详解】（1）甲的平均值，

乙的平均值，

，故乙种玉米苗长得高．

（2）甲的方差，

乙的方差，

，故甲种玉米苗长得齐.

18．（2024·全国·高三专题练习）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．

（1）求，，，；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

【详解】（1），

，

，

.

（2）依题意，，，

，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

19．（2024上·江西上饶·高一婺源县天佑中学校考阶段练习）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.

(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差.

【答案】(1)，

(2)

【详解】（1）由题意可知：，

解得，

可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，

所以平均数等于，

因为，

设第25百分位数为，

则，

解得，

第25百分位数为63.

（2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为，

且两组频率之比为，

成绩在第二组、第四组的平均数，

成绩在第二组、第四组的方差

，

故估计成绩在第二组、第四组的方差是.

20．（2024上·江西景德镇·高一景德镇一中校考阶段练习）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数；

(2)将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数.

【答案】(1)x＝0.06，60

(2)A组3人；B组2人；C组1人

【详解】（1）由频率分布直方图可知5×（0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01）＝1，

解得x＝0.06，

身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×（0.06＋0.04＋0.02）＝60.

（2）A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10，

由题意可知A组抽取人数为30×＝3，B组抽取人数为20×＝2，C组抽取人数为10×＝1，

故A，B，C三个组分别抽取的学生人数为3，2，1.

21．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）某市在万成年人中随机抽取了名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于小时的市民称为“读书迷”．

(1)试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；

(2)省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中的成年人平均每天读书时长不低于小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到）

(3)该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数，适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少，“读书迷”愿意加入的人数会减少．问会费参数至少定为多少时，才能使会员的人数不超过万人？

【答案】(1)万“阅读爱好者”，“读书迷”约有万人

(2)参考标准不能高于小时（分钟）

(3)至少定为时，才能使入会的人员不超过万人

【详解】（1）样本中“阅读爱好者”出现频率为，

“阅读爱好者”的人数为（万），

“读书迷”人数为（万），

所以万“阅读爱好者”中，“读书迷”约有万人．

（2）由题意知至多有的成年人每天读书时长少于，

即找到分位数，

又，，

所以，可得，

即参考标准不能高于小时（分钟）．

（3）“阅读爱好者”中非“读书迷”约有万人，

“读书迷”约有万人，

令，

化简得：，

解得：或，所以，

所以会费参数至少定为时，才能使入会的人员不超过万人．

22．（2024上·广东珠海·高二统考期末）某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产其款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为等品，低于10分的为等品.厂家将等品售价定为2000元/件，等品售价定为1200元/件.

下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：

经计算得，，其中为抽取的第件产品的评分，.

该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔1500万元的资金.

（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分.

（i）估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例；

（ii）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差.

（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为的理财产品，请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？ （一年按365天计算）

【答案】（1）（i）；（ii）9.995，；（2）将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大.

【详解】（1）（i）改进后，随机抽取的16件产品的评分依次变为：

10.00   10.17   10.01   10.01   10.06   9.97   10.03   10.09

10.31   9.96    10.18   10.07   9.27    10.09  10.10   10.00

其中，等品共有13个，

所以，估计改进后该生产线生产的产品中等品所占的比例为；

（ii）设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为，改进后生产出的产品评分为，其中.

由已知得，用样本估计总体可知，

所以，

所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：

，

由已知得，用样本估计总体可知，

所以.

估计改进后该厂生产的所有产品评分的方差为：

因为，所以，

同理，

所以式

.

（2）将这1500万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：

（元）；

将这1500万元购买该款理财产品，一年后的收益为：

（元），

因为，

所以将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大.