第07讲 第十章 概率 章节验收测评卷

第07讲 第十章 概率 章节验收测评卷

1．（2023·高一单元测试）某人射击一次，成绩记录环数均为整数．设事件：“中靶”；事件：“击中环数大于5”；事件：“击中环数大于1且小于6”；事件：“击中环数大于0且小于6”．则正确的关系是（    ）

A．与为对立事件B．与为互斥事件C．与为对立事件D．与为互斥事件

【答案】D

【详解】当击中环数大于0且小于6时，与同时发生了，不是互斥事件，更不是对立事件，故选项A B错误；

与显然为互斥事件，当击中环数为时，与都不发生，故与不是对立事件，故选项C错误；选项D正确.

故选：D

2．（2023·高一单元测试）某人从水库中打了一网鱼共1000条，作上记号再放回水库中，数日后又从水库中打了一网鱼共条，其中条有记号，由此估计水库中共有鱼的条数为（    ）

A．B．C．D．无法估计

【答案】B

【分析】估计水库中共有鱼的条数为，解方程即得解.

【详解】估计水库中共有鱼的条数为，则.

故选：B

3．（2024·四川遂宁·统考一模）甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，则甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】利用互斥事件以及独立事件概率乘法公式运算求解即可.

【详解】由题意可知：若甲口袋的三个球中恰有两个白球，

则从甲袋中取出的球为黑球，乙袋中取出的球为黑球，或从甲袋中取出的球为白球，乙袋中取出的球为白球，

所以甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为.

故选：B.

4．（2024上·黑龙江鸡西·高二校考期中）一个笼子里有3只白兔，3只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果.

【详解】设3只白兔为，3只灰兔为，

则所有基本事件为：，

，共有15个，

其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有：

，，有9个，

所以所求事件的概率为.

故选：B

5．（2024上·四川成都·高二统考期末）连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上面的点数.事件“第一次得到的数字是2”；事件“第二次得到的数字是奇数”；事件“两次得到数字的乘积是奇数”；事件“两次得到数字的和是6”.则（    ）

A．事件和事件对立B．事件和事件互斥

C．事件和事件相互独立D．

【答案】D

【分析】对于A，由互斥事件、对立事件的概念即可判断；对于B，由事件发生时，事件也有可能发生，即可判断；对于C，判断是否成立即可；对于D，判断是否成立即可.

【详解】对于A，事件“第二次得到的数字是奇数”= “第二次得到的数字是1，3，5”，所以事件和事件互斥但不对立；

对于B，事件发生时，即“第二次得到的数字是1，3，5”，若“两次得到数字的和是6”也发生，则此时只需“第一次得到的数字是5，3，1”，

即事件发生时，事件也有可能发生，故B错误；

对于C，由题意，

“两次得到数字的和是6”可能有：五种情况，即，

而事件和事件同时发生即为一种情况，所以，

但，故C错误；

对于D，由题意，

而事件和事件同时发生的概率，

所以.

故选：D.

6．（2024上·全国·高三期末）抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，将向上的点数分别记为，则（    ）

A．的概率为B．能被5整除的概率为

C．为偶数的概率为D．的概率为

【答案】B

【分析】根据古典概型公式分别计算可以判断A,B选项，结合对立事件的概率公式可以判断C,D选项.

【详解】试验的样本点总数，

对于A，“”包含的样本点有：，共5个，所以，故A错误；

对于B，“能被5整除”包含的样本点有：共7个，所以（能被5整除），故B正确；

对于C，“为偶数”的对立事件为：“为奇数”，“为奇数”等价于“和均为奇数”，所以（为奇数），故（为偶数），故C错误；

对于D，“”的对立事件为“”，事件“”包含“”和“”，易知，又，所以，所以，故D错误.

故选:B.

7．（2023下·山东威海·高二统考期末）从正六边形的六个顶点中任取三个顶点，则这三个顶点可以构成直角三角形的概率为（    ）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】运用列举法根据古典概率公式可得答案.

【详解】如图，在六个顶点中任取三个顶点，有

，共20种情况，

因为在正六边形中，过中心的对角线所对的角为直角，所以有

，共12种情况，

故所求概率．

故选：C.

8．（2023下·四川成都·高二期末）七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名.明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅.其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余.近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）.现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】数形结合，通过对图形的各点标记，以及各块几何图的性质,进行边长运算即可得出结论.

【详解】如图，

为等腰直角三角形， 连接,

由题可知， 分别为的中点，

设，则,, , ,

则,

阴影部分②的面积为,

阴影部分⑦的面积为

则从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为，

故选：B.

9．（2023上·四川成都·高二校考阶段练习）下列叙述错误的是（    ）

A．用抽签法从件产品中选取件进行质量检验是简单随机抽样

B．若事件发生的概率为，则

C．甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些

D．对于任意两个事件和，都有

【答案】CD

【分析】利用简单随机抽样的定义、概率的性质、结合抽签法的性质与并事件的概率性质，逐一分析判断即可得解.

【详解】对于A，用抽签法从件产品中选取件进行质量检验，满足简单随机抽样的定义，故A正确；

对于B，根据概率的定义可得，若事件发生的概率为，则，故B正确；

对于C，甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，故C错误；

对于D，对于任意两个事件和，，

只有当事件和是互斥事件时，才有，故D错误.

故选：CD.

10．（2023下·浙江丽水·高二统考期末）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子落地时朝上的面的点数，表示事件“Ⅰ号点数为1”，表示事件“Ⅱ号点数是2”，表示事件“两枚点数之和是8”，表示事件“两枚点数之和是7”，则（    ）

A．B．

C．与相互独立D．与相互独立

【答案】ABD

【分析】根据古典概型与事件独立的乘法公式计算并判断即可.

【详解】由题意得，，，

由题可知试验结果一共有36种可能情况，

表示的事件包含共5种情况，所以，

表示的事件包含共6种情况，所以，所以A和B正确；

表示的事件包含0种情况，所以，所以与不相互独立，故C错误；

表示的事件包含共1种情况，所以，所以与相互独立，故D正确.

故选：ABD

11．（2023上·河南安阳·高一校联考期末）在12张卡片上分别写上数字1~12，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为，甲表示事件“为偶数”，乙表示事件“为质数”，丙表示事件“能被3整除”，丁表示事件“”，则（    ）

A．甲与丙为互斥事件B．乙与丁相互独立

C．丙与丁相互独立D．甲乙乙丙）

【答案】CD

【分析】求出事件甲，乙，丙，丁所包含的基本事件，结合选项可得答案.

【详解】由已知，该试验的样本空间为．

甲，乙，丙，丁．

对于A，因为甲丙，故甲与丙不互斥，错误；

对于B，乙丁，所以乙丁，

又（乙），（丁），所以（乙）（丁）（乙丁），故乙与丁不相互独立，错误；

对于C，丙丁，所以（丙丁），

又P（丙），P（丁），P（丙）P（丁）=P（丙丁），故丙与丁相互独立，正确；

对于D，甲乙，乙丙，故P（甲乙）=P（乙丙），正确．

故选：CD.

12．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一条移动路线，（    ）

A．从1移动到9，一共有34条不同的移动路线

B．从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条．

C．若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为

D．若每次移动都是随机的，记为经过的概率，则

【答案】AB

【分析】画出树状图，结合图形及古典概型即可求解.

【详解】画出树状图，结合图形

则从1移动到9，一共有34条不同的移动路线，A正确；

从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线，

即上图倒数第三行有9的路线，有15条，B正确；

若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的路线共有10条，

则其概率为，C错误；

若每次移动都是随机的，记为经过的概率，则为最大值，，D错误.

故选：AB

13．（2023上·北京·高二北京五十五中校考阶段练习）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查．已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品现在从这5名学生中随机抽取3人、则抽到的3人中有人喜欢甜品的概率为 ．

【答案】

【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.

【详解】名喜欢甜品的编号；名不喜欢甜品的编号，

从中任取人，基本事件有：，

，共个.

抽到的3人中有人喜欢甜品的事件有：，

，共个.

所以抽到的3人中有人喜欢甜品的概率为.

故答案为：

14．（2023下·宁夏·高一六盘山高级中学校考期末）已知某运动员每次投篮命中的概率是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907，966，191，925，271，431，932，458，569，683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ．

【答案】/

【分析】利用古典概型的概率公式求解.

【详解】由已知条件得，表示运动员三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，共三组，

则由古典概型的概率公式可知，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为可知,

故答案为：.

15．（2023下·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）中国象棋是中国棋文化、也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，使用方格状棋盘，每个棋子摆放和活动在交叉点上.其中象位于A处，其移动规则为循着田字的对角线走两格，即下一步可到达的地方为B或D；同理，若象位于D处，下一次可到达的地方为A，C，E或G.已知象从某位置到达下一个位置是随机的，假设象的初始位置是在A处，则走4步后恰好回到A处的概率为 .

【答案】

【分析】列出树状图，根据树状图和相互独立的概率公司求得即可.

【详解】走4步后象到达位置的所有情况可以用树状图表示，

走4步后恰好回到处的概率.

故答案为：.

16．（2023下·天津西青·高一统考期末）2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为 ，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为 ．

【答案】 /0.375

【分析】利用相互独立事件即可求得；

“粽队”在两轮活动中答对三个问题相当于事件“甲答对1个，乙答对2个”、事件“甲答对2个，乙答对1个”的和事件发生，根据独立事件和互斥事件概率的求法，即可求解.

【详解】因为每轮活动中甲答对问题的概率为，则每轮活动中甲答错问题的概率为，所以甲在两轮活动中答对1个问题的概率为.

设分别表示甲两轮答对1个，2个问题的事件，

分别表示乙两轮答对1个，2个问题的事件，根据独立事件的性质，可得，

，，

，，

设为 “粽队”在两轮活动中答对三个问题的事件，

则，因为与互斥，与，与分别相互独立，，

所以“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率.

故答案为：，.

17．（2024上·上海·高二统考期末）（1）骰子是每一面上分别标注数字圆点1，2，3，4，5，6且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间；

①单次掷一颗骰子，观察点数；

②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果；

（2）掷一颗骰子，用分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果不小于3”.请验证这两个随机事件是否独立，并请说明理由.

【答案】（1）；②；（2）相互独立，理由见解析

【分析】（1）列举法即可求解，

（2）根据乘法公式验证即可判定是否独立.

【详解】（1）①；②.

（2），

，

则事件是相互独立的.

18．（2024上·陕西汉中·高一统考期末）现有甲、乙、丙3名志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）列举求解相应概率.

【详解】（1）甲、乙、丙3名志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位服务，

每个岗位至少有一名志愿者.基本事件可能为（甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），

（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，丙乙），共有6个，

其中甲、乙两人同时参加A岗位服务的基本事件只有（甲乙，丙）1个，

故甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为.

（2）甲、乙两人不在同一岗位有（甲丙，乙），（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共4个基本事件，

故甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为.

19．（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）掷黑、白两枚质地均匀的骰子，

(1)写出事件A：“点数都是偶数”所对应的子集并求其概率；

(2)验证事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）列举出所有事件数和满足题意的事件数即可；

（2）根据独立事件的判定方法分别计算即可.

【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个，

两个点数都是偶数的基本事件有共9个，

概率为．

（2）设“点数和为7”为事件， “白色骰子的点数为1”为事件，

满足事件的情况数有共6个，

满足事件的情况数有共6个，

同时满足事件的情况有，

抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个，

则，，，所以，

所以事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的.

20．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．

(1)求，的值；

(2)估计这100名同学面试成绩的中位数（数精确到0.1）；

(3)在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．

【答案】(1)，；

(2)69.4

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为及所给条件得到方程组，解得即可；

（2）根据频率分布直方图中位数计算规则计算可得；

（3）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）由题意可知：，，

解得，；

（2）前两个分组频率之和为，

前三个分组频率之和为，

则估计中位数数为；

（3）根据分层抽样，和的频率比为，

故在和中分别选取4人和1人，分别设为和，

则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：

共10个，即，

记事件“两人来自不同组”，则事件包含的样本点有共4个，即，

所以.

21．（2024上·云南大理·高二统考期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”．

(1)求事件发生的概率；

(2)求事件或发生的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）所有组成的三位数的个数是，只需个位数是5的数的个数即可得解.

（2）由题意先求得，，再根据和事件的概率公式结合（1）中结论即可得解.

【详解】（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是，

要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，

而这些数中个位数是5的数的个数为，

所以事件发生的概率.

（2）由题意要使得组成的三位数能被3整除，则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数，

即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个，

所以，

又555既能被3整除，又能被5整除，即，

所以事件或发生的概率为.

22．（2024上·广东广州·高二统考期末）某大型连锁超市为了解客户去年在该超市的消费情况，随机抽取了100位客户进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)求该频率分布直方图中的值，并估计这100位客户去年到该超市消费金额的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作为代表）

(2)为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间和内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机抽取2人作为“幸运客户”，求“幸运客户”中恰有1人来自区间的概率.

【答案】(1)，万元

(2)

【分析】（1）由频率分布直方图中各矩形面积和为1求得，在由频率分布直方图求平均数方法可得这100位客户去年到该超市消费金额的平均数；

（2）先利用分层抽样得到分组区间中抽取2人，分组区间中抽取3人，再由古典概型用列举法得到样本空间得解.

【详解】（1）由题可知，即，所以.

由频率分布直方图可得

，

因此，这100位客户去年到该超市消费金额的平均数为万元.

（2）记“幸运客户中恰有1人来自区间”为事件.

因为区间与频率之比为，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，

故从分组区间中抽取2人，分别记为，

从分组区间中抽取3人，分别记为，

从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，样本点表示“选出”（余类推），

则样本空间为

.

所以.

答：幸运客户中恰有1人来自区间的概率为.