第05讲 10.3频率与概率

【即学即练1】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数：

【即学即练2】（多选）（2023上·高一课时练习）“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是（    ）

【即学即练3】（2023上·广东佛山·高二校联考阶段练习）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数：

【典例1】（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）下列命题中正确的是（    ）

【典例2】（2023上·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）在抛掷硬币试验中，记事件A为“正面朝上”，则下列说法正确的（    ）

【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次．

【变式1】（2023下·新疆喀什·高一校考期末）给出下列四个命题：

【变式2】（多选）（2023上·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ）

【变式3】（2023上·四川达州·高二校考阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ．

【典例1】（2023上·北京·高二北京五十五中校考期中）手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（    ）.

【典例2】（2024上·河北石家庄·高二统考期末）天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 .

【典例3】（2022上·上海·高二上海市民办扬波中学校考期末）受全球新冠疫情影响，2020东京奥运会延期至2021年7月23日到8月8日举行，某射箭选手积极备战奥运，在临赛前的一次训练中共射了1组共72支箭，下表是命中环数的部分统计信息

【变式1】（2022下·湖南岳阳·高一统考期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ）

【变式2】（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为 .

【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率．该公司收集了辆汽车的信息，时间从某一年的月日到第二年的月日，共发现有辆汽车的挡风玻璃破碎．在一年时间内，一辆汽车的挡风玻璃破碎的概率大约是多少？

【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？

【典例2】（2022上·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？

【变式1】（2023下·江西吉安·高一统考期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．

【变式2】（2022·高一课时练习）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）

【典例1】（2023·全国·高一专题练习）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（      ）

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）某种彩票的中奖概率为，则以下理解正确的是（    ）

【典例3】（2023下·全国·高一随堂练习）深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为；（ⅱ）当中签率不超过时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加.为了使中签率超过，则至少需要邀请 位好友参与到“好友助力”活动.

【变式3】（2023·江西吉安·江西省泰和中学校考一模）设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从 箱中取出的.

【典例1】（2023·全国·高一专题练习）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：

【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只有颜色不同）若干个，有放回地从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是 球.

【典例4】（2024上·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

【变式1】（2024上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：

【变式2】（2023上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：

【变式3】（2023下·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为

【变式4】（2023·全国·高三专题练习）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

1．（2024·全国·高三专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ）

2．（2024·全国·高三专题练习）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下：

7.5~9.5的频率为，

9.5~11.5的频率为，

11.5~13.5的频率为，

3．（2024上·陕西汉中·高一南郑中学校联考期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ）

4．（2024上·江西景德镇·高一景德镇一中校考阶段练习）下列结论：①如果，那么为必然事件：

5．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）下列说法正确的是（    ）

6．（2023上·新疆和田·高二校考期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（    ）

7．（2023下·全国·高一专题练习）在6月6日第27个全国“爱眼日”即将到来之际，教育部印发《关于做好教育系统2022年全国“爱眼日”宣传教育工作通知》，呼吁青年学生爱护眼睛，保护视力．众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（    ）

8．（2023下·全国·高一专题练习）设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是（    ）

9．（2023上·山东济南·高一统考开学考试）下列说法正确的是（    ）

10．（2023·广东深圳·校考二模）光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（    ）

11．（2023下·全国·高一随堂练习）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．

12．（2023·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率） ．

13．（2023·全国·高一随堂练习）同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和．

14．（2023·全国·高一课堂例题）一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.