第02讲 10.1.3 古典概型

【即学即练1】（2024上·全国·高三专题练习）以下试验不是古典概型的有（    ）

【即学即练2】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（    ）

【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（    ）

【典例2】（2023下·新疆·高一校考期末）下列实验中，是古典概型的有（    ）

【典例3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）下列是古典概型的有（    ）

【变式1】（2024上·全国·高三专题练习）下列概率模型中不是古典概型的为（    ）

【变式2】（2023下·高一课时练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（    ）

【变式3】（2023·全国·高一专题练习）下列试验是古典概型的是（    ）

【典例1】（2023上·湖北荆州·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数.为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ）

【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）写出下列随机试验的样本空间：

【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）在试验“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，设事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，试用样本点表示事件A和事件B．

【变式1】（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考阶段练习）A,B两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“B元件正常”，用分别表示A,B两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效.下列说法正确的个数是（    ）

【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．设事件A表示随机事件“第一次摸出的是黑球”，事件B表示随机事件“至少有一次摸出的是黑球”，试用样本点表示事件A和事件B．

【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）拋掷一枚骰子，用1，2，3，4，5，6表示掷出的点数，写出试验的样本点和样本空间．

【典例1】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（    ）

【典例2】（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 .

【典例3】（2024上·辽宁朝阳·高二统考期末）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，中国跳水运动小将全红婵备受大家关注.某调研机构为了了解杭州市民对亚运会跳水项目的认知程度，举办了一次“亚运会跳水项目”知识竞赛，随机抽取了1000名参赛者，发现他们的成绩都在40～100分之间，将他们的成绩分成，，，，，六组，并制成如图所示的频率分布直方图.

【典例4】（2024上·吉林长春·高二校考期末）某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组：第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.

【变式1】（2024上·江苏苏州·高三统考期末）2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）.为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛､武进､江阴､张家港中的一站下车，乙随机选择金坛､武进､江阴､张家港､常熟中的一站下车.已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（   ）

【变式2】（2024上·山东淄博·高二统考期末）从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 .

【变式3】（2024上·北京昌平·高一统考期末）为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图：

【变式4】（2024上·广西桂林·高一统考期末）2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（    ）

【典例2】（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校联考期中）从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（    ）

【典例3】（2024上·广西北海·高一统考期末）从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为 ．

【典例4】（2023上·河南信阳·高二统考期中）从三名男生（记为，，）、两名女生（记为，）中任意选取两人.

【变式1】（2023上·四川成都·高二统考期中）袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（    ）

【变式2】（2024·四川绵阳·统考二模）甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为 ．

【变式3】（2024上·山东潍坊·高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习）从分别标有数字的张卡片中不放回地随机抽取次，每次抽取张，则抽到的两张卡片上数字的奇偶性不同的概率是 .

【变式4】（2024·全国·高三专题练习）已知不透明的袋中装有三个黑球（记为，和）、两个红球（记为和），从中不放回地依次随机抽取两球．

【典例1】（2023上·浙江·高二温州中学校联考期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ）

【典例2】（2023上·广东佛山·高二统考期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（    ）

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件．

【典例4】（2023·全国·高一专题练习）一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．

【变式1】（2023下·重庆·高一统考期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ）

【变式2】（2023上·浙江·高一阶段练习）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，己知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ．

【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值为 ．

【变式4】（2023·高一课时练习）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红色小球1个，黄色小球1个，蓝色小球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到蓝色小球为事件，且事件发生的概率是.

【典例1】（2024上·云南昆明·高二校考期末）《青年大学习》是共青团中央组织的以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，年已开展到第期．团县委为了解全县青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全县随机抽取名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（单位：分钟），根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示：

【典例2】（2024上·辽宁丹东·高一统考期末）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宜传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

【典例3】（2024上·北京昌平·高一统考期末）为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图：

【变式1】（2024上·湖北恩施·高二恩施土家族苗族高中校考阶段练习）某校为调查学生对食堂的满意度（满分100），并随机抽取了100名学生的评分，以此为样本，分成五组，得到如下图所示频率分布直方图.

【变式2】（2024上·广东广州·高二统考期末）某大型连锁超市为了解客户去年在该超市的消费情况，随机抽取了100位客户进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.

【变式3】（2024上·北京西城·高一期末）某企业从领导干部、员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对、两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：，，，，，得到员工的频率分布直方图和员工的频数分布表：

1．（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为4的概率为（   ）

2．（2024上·四川凉山·高二统考期末）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不大于10的素数中，选两个不同的数，和为偶数的概率为（    ）

3．（2024·广东·高三学业考试）如图，一只转盘，均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（    ）

4．（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（    ）

5．（2024上·北京房山·高一统考期末）在信息论中，设某随机事件发生的概率为，称为该随机事件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为（    ）

6．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）抛掷一个骰子，将得到的点数记为，则，4，5能够构成三角形的概率是（    ）

7．（2023上·北京·高二校考期末）某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是（   ）

8．（2023上·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考期中）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（    ）

9．（2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（    ）

10．（2023·全国·高三专题练习）某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为，，则下列判断不正确的是（    ）

11．（2023上·浙江·高一阶段练习）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为，计算，则其结果恰为2的概率是 ．

12．（2023上·广东清远·高二校联考期中）某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为 .

13．（2023上·甘肃庆阳·高二校考学业考试）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查. 已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品.现在从这5名学生中随机抽取3人，求抽到的3人中至多有1人喜欢甜品的概率．

14．（2023上·湖南·高二校联考期中）长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：

1．（2023下·福建福州·高一校联考期末）袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

2．（2023上·湖北恩施·高二校联考阶段练习）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为（    ）

3．（2023下·江苏宿迁·高二统考期末）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 .

4．（2023下·陕西西安·高一长安一中校考期末）若、是从集合中随机选取的两个不同的数，则使得函数是偶函数的概率为 .

5．（2023上·山东淄博·高二校考期中）已知关于x的二次函数，令集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，构成数对