第六章 平面向量及其应用 章节验收测评卷
学习目标
第六章 平面向量及其应用 章节验收测评卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023上·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以
.
故选：C
2．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）若点不共线，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】不等式等价于，
两边平方可得：，即，
其中当且仅当与的夹角为钝角或与的方向相反，
由于点不共线，所以当且仅当与的夹角为钝角，
故选：B.
3．（2024上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．3D．0
【答案】B
【详解】，
，则有，解得.
故选：B
4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6000密位，写成“”，578密位写成“”．若在中，分别是角所对的边，且有．则角用密位制表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，
又，所以，
由题知，密位，所以密位，
依题意，1000密位表示为.
故选：C
5．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，，
所以，，
即，，解得，，
所以，，
则．
故选：D．
6．（2023上·全国·高三专题练习）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．则为（ ）．
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】由及正弦定理，得，
又，故，又，故．
因为，由余弦定理，得，
所以，所以是以为直角的直角三角形．
故选：B
7．（2022下·江西南昌·高一统考期末）某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时，
他两只胳膊的夹角最大为 ，
设此时两只胳膊的拉力为 ,则N,
则，即有，
所以，
即，
故，故，
故选：B
8．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）在中，点是边的中点，且，点满足（），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为（），
所以，又，
所以点在线段上，所以.
设（），所以
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023上·福建·高三校联考阶段练习）下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ACD
【详解】易知能作为基底的两个平面向量不能共线，
因为，，，
则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中，则B错误.
故选：ACD
10．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ）
A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8
【答案】BC
【详解】根据题意可得：满足条件的有两个，可得，
故选:BC
11．（2023·广东·统考二模）若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则与同向的单位向量为
C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．若，则的最小值为
【答案】BD
【详解】由，，
A选项：，
则，解得，则，，
所以不存在，使，即，不共线，A选项错误；
B选项：，则，解得，
即，，，
所以与同向的单位向量为，B选项正确；
C选项：时，，
又与的夹角为锐角，
则，解得，且，
即，C选项错误；
D选项：由，得，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，D选项正确；
故选：BD.
12．（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且，，则（ ）．
A．B．面积的取值范围为
C．周长的取值范围为D．CD长度的取值范围为
【答案】BCD
【详解】由正弦定理可得，整理得，
所以，又，所以．故A错误，
对于B,由可得，当且仅当时取等号，
所以,故面积的取值范围为，B正确，
对于C，由得，
当且仅当时取等号，由于故周长的范围，故C正确，
对于D，由于，所以，
由于，所以，故D正确，
故选：BCD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023下·辽宁·高二统考学业考试）在中，点为边的中点，若，则实数的值为 .
【答案】2
【详解】因为，，
所以，所以，即.
故答案为：2
14．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知向量满足，，则 ．
【答案】
【详解】由，得，有，
则．
故答案为：
15．（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶A的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则 .
【答案】
【详解】设，则，
在中，因为，
由余弦定理可得：，解得：，
则.
过点作，
由题意可得：，
则，
，
可得，，
则，
所以.
故答案为：.
16．（2023下·安徽宣城·高一统考期末）已知中，，，，M是AB的中点，P为线段DC上的动点，则的取值范围是 ；延长DC至，使，若T为线段上的动点，且恒成立．则的最大值为 ．
【答案】
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：
中，2，，
所以即，，
设，则，
所以，由，得，
所以的取值范围是；
设，则，
所以，
所以不等式化为，则，
设，则，
所以，
当且仅当，即，即时取“＝”，
所以的最大值为．
故答案为：．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023下·广西河池·高一校联考阶段练习）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，所以，
因为，所以，解得.
（2）因为，，
因为，，三点共线，所以，所以，解得，
故的值为．
18．（2023下·四川成都·高一石室中学校考期中）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.
(1)求A的大小；
(2)若a＝7，且顶点A到边BC的距离等于，求b和c的长.
【答案】(1)
(2)b＝3，c＝5或b＝5，c＝3
【详解】（1）由正弦定理，，
即.
因为，，
所以.
（2）由（1）可知①.
又因为，所以②，
联立①②解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.
19．（2022下·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考期中）的内角A，B，C所对的边分别为．
(1)求A的大小；
(2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．
①M为的重心，；
②M为的内心，；
③M为的外心，．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）∵，∴，即
由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，又，∴，∴
（2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，，
若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且，
又，∴，
即， 又由余弦定理得，即，解得，∴；
若选②：∵M为的内心，∴，由得，∵，∴，即，
由余弦定理可得，即，∴，
即，∵，∴， ∴．
若选③：M为的外心，则为外接圆半径，，与所给条件矛盾，故不能选③.
20．（2023上·北京海淀·高三统考期中）某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）
(1)求两点之间的距离；
(2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直线与直线不垂直，理由详见解析.
【详解】（1）依题意，，，，
所以，
，所以，
在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得.
（2）在三角形中，由余弦定理得，
，
在三角形中，由正弦定理得，
，
直线与直线不垂直，理由如下：
,
所以直线与直线不垂直.
21．（2023上·辽宁·高三统考期中）如图，在中，是边上的中线．
(1)取的中点，试用和表示；
(2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，为的中点，所以，
又为的中点，
所以．
（2）由，，，
得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，则，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
22．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)证明：
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
整理得，
又，所以，
所以，
整理得，所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，即.
（2）由（1）可知，，
因为，所以由正弦定理可得，，即，
因为，所以，
又，所以，即，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则.记，则，
由对勾函数可知，在上单调递增，所以，即的取值范围为