第34讲 5.2.1三角函数的概念
学习目标
第34讲 5.2.1三角函数的概念
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解结合单位圆定义三角函数的意 义。 ②结合任意角终边与单位圆的交点会求任意角的正弦、余弦、正切值。 ③根据任意角终边所在象限的位置，会判断任意角三角函数值的符号。 | 1.掌握三角函数的定义； 2会求任意角的三个三角函数值； 3.能准确判断任意角的三角函数值的符号； |
知识清单
知识点01：任意角的三角函数定义
1、单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2、终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：②余弦函数： ③正切函数：()
知识点02：三角函数值在各象限的符号
,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”
）
知识点03：特殊的三角函数值
| 角度 | |||||||||||
| 弧度 | |||||||||||
| 正弦值 | |||||||||||
| 余弦值 | |||||||||||
| 正切值 |
知识点04：诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.
(2)式子表示:
①
②
③其中.
知识点05：三角函数线
设角的终边与单位圆相交点；④由点向轴做垂线，垂足为点；⑤由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示：
在中：
为正弦线，长度为正弦值。
为余弦线，长度为余弦值。
在中：。
为正切线，长度为正切值。
题型精讲
题型01 利用三角函数的定义求三角函数值
【典例1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知角、的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边关于轴对称，若角的终边上有一点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·江西吉安·期末）已知角的终边与单位圆交于点，则
A．B．或C．或D．
【变式1】（2024·陕西榆林）若角的终边经过点，则的值是
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知角的终边经过点，则 ， ， ．
题型02由终边或终边上点求三角函数值
【典例1】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）若角的终边经过点（），则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 ．
【变式1】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知角的终边经过点，则 .
题型03由三角函数值求终边上的点或参数
【典例1】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ．
【典例3】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知角的终边经过点，若，则实数 ．
【变式1】（23-24高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ．
题型04 三角函数值符号的运用
【典例1】1．（23-24高一下·四川内江·期中）若， 则的终边在（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、三象限或在轴的非负半轴上D．第二、四象限或在轴的非负半轴上
【典例2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知为第三象限角，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高一上·重庆·期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】(多选）（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）下列选项中，结果为正数的有（ ）
A．B．C．D．
题型05画三角函数线
【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（ ）
A．有向线段OM，AT，MPB．有向线段OM，MP，AT
C．有向线段MP，AT，OMD．有向线段MP，OM，AT
【典例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线．
①；②．
（2）分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较：和，和，和的大小．
【变式1】（24-25高一上·全国·课前预习）三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P．过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，过点A（1，0）作单位圆的切线，如果tanα存在，设该切线与角α的终边（当α为第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点T．单位圆中的有向线段 ， ， 分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：，，．
【变式2】（23-24高一·江苏·课后作业）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
题型06 三角函数线的应用
【典例1】（23-24高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）利用三角函数线比较大小
(1)与；
(2)与；
(3)与.
【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）以下命题正确的是（ ）
A．都是第一象限角，若，则
B．都是第二象限角，若，则
C．都是第三象限角，若，则
D．都是第四象限角，若，则
【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）[多选题]已知，那么下列命题成立的是（ ）
A．若，是第一象限角，则
B．若，是第二象限角，则
C．若，是第三象限角，则
D．若，是第四象限角，则
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是 .
强化训练
一、单选题
1．（24-25高一上·北京·开学考试）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角α的终边上一点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，下列说法正确的是（ ）．
A．的值越大，梯子越陡；
B．的值越大，梯子越陡；
C．的值越小，梯子越陡；
D．陡缓程度与的三角函数值无关．
4．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，B为钝角，则点（ ）
A．在第一象限B．在第二象限C．在第三象限D．在第四象限
5．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边在直线上，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则（ ）
A．0B．C．1D．
7．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．11B．C．10D．
8．（2023·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（ ）
A．B．4C．D．1
二、多选题
9．（22-23高一上·广东湛江·期末）若，则角θ的终边可能落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）若角的终边在第三象限，则的值可能为（ ）
A．0B．2C．4D．
三、填空题
11．（23-24高一上·上海·期末）方程的解是 .
12．（2020高三·全国·专题练习）若角的终边上有一点，则的值是 ．
四、解答题
13．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求．
14．（24-25高一上·上海·随堂练习）分别求满足下列条件的角x的集合.
(1)，；
(2)，；
(3)，.
1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则 ．
3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的终边在直线上．
(1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值；
(2)求的值．