第33讲 5.1任意角和弧度制

【即学即练1】（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角：

【即学即练2】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）把化成弧度；

【即学即练3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为．求该扇形的弧长和面积．

【典例1】（23-24高一上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ）

【典例2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）下列选项不正确的是（    ）

【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）下列说法中正确的是（   ）

【变式2】（23-24高一上·福建南平·期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 .

【典例1】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）与角终边相同的角是（   ）

【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）在与530°终边重合的角中，求满足下列条件的角．

【变式1】（23-24高一下·山东日照·期中）在内，与角终边相同的角是（    ）

【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）找出与下列各角的终边重合的角，并判别下列各角是第几象限的角：

【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）终边落在直线上的角的集合为（    ）

【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合.

【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）（1）写出终边在直线上的角的集合．

【典例1】（23-24高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ）

【典例2】（23-24高一上·全国·课前预习）如图所示阴影部分角的集合.

【典例3】（23-24高一·江苏·课后作业）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．

【变式1】（23-24高一上·山东烟台·期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是 .

【变式2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合 ．

【变式3】（2024高一·全国·专题练习）写出如图所示阴影部分的角α的范围.

【典例1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知角的终边经过点，则是（    ）

【典例2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（   ）

【典例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置.

【变式1】（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ）

【变式2】（23-24高一下·全国·课后作业）已知角是第三象限角，求所在的象限.

【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）

【典例2】（多选）（23-24高一下·江西新余·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）

【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ）

【变式2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）下列各说法，正确的是（　　）

【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度：

【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列角度化为弧度：

【变式1】（2024高一上·江苏·专题练习）将下列角度与弧度进行互化：

【变式2】（2023高一·江苏·专题练习）将下列各弧度化成角度.

【典例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（    ）

【典例2】（23-24高一上·河北承德·期末）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ）

【变式1】（2024高三·全国·专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（    ）

【变式2】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）把写成的形式是 .

【典例1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）在单位圆中，长度为的弦所对的劣弧长是（    ）

【典例2】（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．

【变式1】（23-24高一下·安徽铜陵·期末）若一个扇形的面积为6，扇形圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为 .

【变式2】（23-24高一下·上海黄浦·期末）若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为 ．

【典例1】（23-24高一下·河南南阳·期中）在扇形中，，弦，则扇形的面积是（    ）

【典例2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为 ．

【变式1】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（   ）

【变式2】（23-24高一下·重庆·期末）若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（    ）

【典例1】（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为；

【典例2】（23-24高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R.

【变式1】（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积;

【变式2】（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.

1．（2024高一上·浙江台州·专题练习）已知，则的余角是（    ）

2．（23-24高一上·全国·课后作业）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ）

3．（23-24高一下·陕西渭南·期中）角1000°的终边在（    ）

4．（2024高三·全国·专题练习）如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（ ）

5．（23-24高一下·重庆·期中）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，密位写成“”．1周角等于密位，记作1周角，1直角.如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（    ）

6．（24-25高一上·全国·课后作业）集合中角所表示的范围（阴影部分）是（    ）

7．（23-24高一下·陕西渭南·期中）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）.根据以上信息，当圆心角对应弧长时，其对应的“古典正弦”值为（    ）

8．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（    ）

9．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知一根长为L的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（    ）

10．（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列结论中正确的是（    ）

11．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·开学考试）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为，内弧长为，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为

12．（2023高二·湖北·学业考试）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是$AB$的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．

13．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米．

1．（2023·山西·模拟预测）在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（    ）

2．（23-24高一下·上海·期中）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是 ．

3．（23-24高一上·广东清远·期中）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.