第31讲 第四章 指数函数与对数函数 章末题型大总结

【典例1】（23-24高二下·天津·期末）计算下列各式的值：

【典例2】（24-25高一上·上海·单元测试）计算：

【典例3】（2024高三·全国·专题练习）计算下列各式.

【变式1】（23-24高二下·宁夏银川·期末）计算

【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值：

【变式3】（23-24高二下·天津·阶段练习）计算：

【典例1】（云南省楚雄彝族自治州2023-2024学年高一下学期期末教育学业质量监测数学试题）已知，则（    ）

【典例2】（湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题）已知，，，则（    ）

【典例3】（23-24高二下·黑龙江·期末）若，，，则（    ）

【变式1】（23-24高二下·北京朝阳·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ）

【变式2】（2024高三·天津·专题练习）若，，，则，，的大小关系为（    ）

【变式3】（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，，则（    ）

【典例1】（23-24高一上·安徽·期中）函数的定义域为（    ）

【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域为 ．

【典例3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，其定义域为，求的取值范围．

【变式1】（23-24高二下·北京石景山·期末）函数的定义域为 .

【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：

【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：

【典例1】（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）函数的最大值为 .

【典例2】（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .

【典例3】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）求函数的单调区间与值域.

【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ）

【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值为 ．

【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）求函数 的值域.

【典例1】（23-24高一上·云南昆明·期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（    ）

【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）．

【典例3】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ）

【变式1】（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ）

【变式2】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（    ）

【变式3】（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（    ）

【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ．

【典例2】（23-24高一下·安徽阜阳·期末）已知函数为奇函数．

【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为偶函数．

【变式1】（23-24高一下·山西大同·期末）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 .

【变式2】（23-24高二下·天津和平·期末）已知函数（且）是定义在上的奇函数.

【变式3】（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知函数，其中．

【典例1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．

【典例2】（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数．

【典例3】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，其中，且为奇函数．

【变式1】（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）已知函数.

【变式2】（2024高一·全国·专题练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为.

【变式3】（2024高二·全国）已知，

【典例1】（23-24高一上·浙江丽水·期末）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）．

【典例2】（23-24高一下·云南昆明·期中）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间t（单位：分钟）的部分数据如下表所示：

【典例3】（22-23高一上·河南南阳·期末）某城市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），

【变式1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表：

【变式2】（23-24高一下·湖北·阶段练习）学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下：

【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：，其中t表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了t年后剩余的质量．为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．的半衰期大约是5730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其的衰减速度为4.09个/（），而新砍伐树木烧成的木炭中的衰减速度为6.68个/（）．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．（参考数据：）

【典例1】（23-24高二下·海南·期末）已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（    ）

【典例2】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则 ．

【典例3】（23-24高二下·山东滨州·期末）设函数 若关于的方程有5个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．

【变式1】（23-24高一下·云南·期末）设，若关于的方程恰有5个不同实数解，则实数的取值范围是（    ）

【变式2】（2024·天津河东·二模）已知函数，，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为 .

【变式3】（23-24高二下·湖南·期末）已知函数，且时，，则的取值范围为 .

【典例1】（24-25高一上·上海·课堂例题）设（且），求的取值范围．

【典例2】（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，，（且）.

【变式1】（2024高三下·全国·专题练习）函数（，且）在上的最大值为13，求实数a的值.

【变式2】（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知函数．

【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数 (且).

【典例1】（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点所在的区间为（    ）

【典例2】（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数是定义在上的奇函数．

【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为．

【变式2】（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数（为实常数）．