第30讲 第四章 指数函数与对数函数（含函数零点） 拓展提升
学习目标
第30讲 第四章 指数函数与对数函数（含函数零点） 拓展提升
题型精讲
题型01指数（型）函数的值域（最值）
【典例1】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .
(1)判断 的奇偶性，并说明理由；
(2)求 时， 的值域.
【典例3】（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若有最大值3，求的值
【变式1】（23-24高一·全国）已知的值域为，则x的取值范围可以为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（且）的图像经过点．
(1)求的表达式；
(2)求的最小值；
(3)设，若恒成立，求实数的取值范围．
【变式3】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数（，且）.
(1)若，求函数在上的最值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
题型02指数（型）函数的单调性
【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的值的范围是 ．
【典例3】（23-24高二上·浙江·期末）函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ．
【变式1】（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一下·四川·期中）已知且，函数满足对任意不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围 ．
【变式3】（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）设函数且在区间单调递减，则的取值范围是 .
题型03对数（型）函数的定义域
【典例1】（23-24高二上·四川成都·期末）函数的定义域为 .
【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数．
(1)若该函数的定义域为，求实数的范围；
(2)若该函数的值域为，求实数的范围．
【典例3】（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数，其中
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最大值为2，求的值.
【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
【变式2】（23-24高一上·安徽六安·阶段练习）（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围．
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围．
【变式3】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明.
题型04对数（型）函数的值域（最值）
【典例1】（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为.则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数在内有意义，求实数的取值范围；
(2)若函数的值域为，求实数的值．
【典例3】（23-24高一上·天津·期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数．
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的最小值．
【变式2】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数.
(1)求实数a的值；并方程的解集M.
(2)当，求的最小值、最大值及对应的x的值.
【变式3】（23-24高一上·吉林延边·期末）设函数，且.
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最小值.
题型05对数（型）函数的单调性
【典例1】（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一下·湖南·期末）已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高二下·江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为 ．
题型06指数（型）对数（型）函数的实际应用
【典例1】（北京市昌平区2023-2024学年高二下学期期末质量抽测数学试卷）把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（ ）
（参考数据）
A．2.7B．3.7C．4.7D．5.7
【典例2】（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
【典例3】（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：）
A．B．C．8minD．
【变式1】（23-24高二下·浙江·期末）近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．16B．72C．74D．90
【变式2】（2024·江西鹰潭·模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A．674B．675C．676D．677
【变式3】（2024·福建福州·模拟预测）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
题型07指数（型）对数（型）函数的综合应用
【典例1】（23-24高二下·福建南平·期末）已知函数，为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)写出的单调区间（不需要说明理由）；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【典例2】（23-24高一下·云南大理·期末）已知函数，函数.
(1)试判断函数的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于的不等式；
(2)类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题
①已知，求的值；
②恒成立，求实数的取值范围.
【典例3】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明）；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【变式1】（23-24高一下·云南·期末）已知函数，且.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上的最小值为，求的值.
【变式2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数.
(1)若关于x的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数a的取值范围；
(2)设，若，函数在区间上的最大值和最小值之差不超过1，求实数a的取值范围.
【变式3】（23-24高一上·吉林延边·期中）已知函数，且.
(1)若，求不等式 的解集；
(2)若，令，若对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试确定的取值范围.
题型08根据零点求参数
【典例1】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（ ）
A．0B．C．2D．3
【典例2】（2024高二下·辽宁·学业考试）已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【典例3】（23-24高三·湖南湘潭·期末）已知函数若函数恰有8个零点，则a的值不可能为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【变式1】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数，函数，其中，若函数恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数且在上无零点，在上有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2024·河南·模拟预测）已知函数，若函数有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型09求函数的零点（方程的根）的个数
【典例1】（23-24高二下·吉林白城·期末）若偶函数满足且时，，则方程的根有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【典例2】（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【典例3】（2024高三上·河南·专题练习）已知函数则的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2】（2024高二下·山东·学业考试）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式3】（23-24高一下·河北保定·开学考试）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A．B．3C．6D．9
【典例2】（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且，则下列四个选项中正确的选项为（ ）
A．的范围为B．
C．D．
【典例3】（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数，方程有三个解，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式1】（2024·广东·模拟预测）已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．B．C．D．0
【变式2】（23-24高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（ ）
A．B．2023C．D．4046
【变式3】（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1】（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数.
(1)若，求与交点的横坐标；
(2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.
【典例2】（23-24高一下·湖南·期中）已知函数．
(1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
(2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围．
【典例3】（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数为奇函数．
(1)设函数，求的值；
(2)若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．
【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数.
(1)当时，求关于的方程的解；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的解，求的取值范围.
【变式2】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数.
(1)设，若是奇函数，求的值，并证明；
(2)已知函数，若关于的方程在内恰有两个不同解，求实数的取值范围.
【变式3】（2024高二上·福建·学业考试）已知函数且．
(1)求实数a的值；
(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．