第29讲 4.5.3函数模型的应用

【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期末）下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（    ）

【典例2】（多选）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）函数，，，在区间上（    ）

【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ．

【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）当a>1时，有下列结论:

【变式2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）（多选题）已知函数，，，，则下列结论正确的是（　　）

【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）当时，试探究三个函数的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为 ．

【典例1】（23-24高一上·江苏常州·期末）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：

【典例2】（23-24高一上·全国·单元测试）在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据:

【典例3】（23-24高一下·福建·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：

【变式1】（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ）

【变式2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）有一组实验数据如下:

【变式3】（23-24高一上·四川广安·期末）科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的.

【典例1】（23-24高一下·云南·阶段练习）某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 .

【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·期中）生产某机器的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是，若每台机器售价为30万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为 台.

【典例3】（23-24高一上·湖北恩施·期末）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元.

【变式1】（23-24高一上·全国·期中）已知某种商品在第天的销售价格为元，销售量为件，则在这15天中，第 天该商品日销售额最多，为 元.

【变式2】（23-24高一上·山东临沂·期末）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所．如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100平方米的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元．

【变式3】（23-24高一上·上海奉贤·期末）要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示.已有材料可建成的围墙总长度为30米，宽为米，居室总面积平方米.

【典例1】（23-24高二下·上海·期末）某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出．

【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．

【典例3】（23-24高一上·云南昭通·期末）某工厂生产某种产品，年固定成本为200万元，可变成本万元与年产量（件）的关系为

【变式1】（23-24高一上·山西吕梁·期末）2023年是共建“一带一路”倡议提出10周年．2023年10月，习近平主席在第三届“一带一路”国际合作高峰论坛上宣布了中国支持高质量共建“一带一路”的八项行动，并将“促进绿色发展”作为行动之一，为“一带一路”绿色发展明确了新方向．源自中国的绿色理念、绿色技术与清洁能源相结合，让能源短缺不再是发展的瓶颈，点亮共建国家绿色低碳发展的梦想．某新能源公司为了生产某种新型环保产品，前期投入固定成本为1000万元，后期需要投入成本（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为经调研市场，预测每100台产品的售价为500万元．依据市场行情，估计本年度生产的产品能全部售完．

【变式2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）某加工厂要安装一个可使用25年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后，该加工厂每年额外消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）.已知太阳能电池板面积为40平方米时，每年额外消耗的电费为2.5万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记为该加工厂安装这种供电设备的工本费与该加工厂25年额外消耗的电费之和.

【变式3】（23-24高一上·江苏常州·期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系；，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）

【典例1】（23-24高二下·浙江·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ）

【典例2】（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（    ）

【典例3】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（   ）（参考数据：，）

【变式1】（23-24高一下·湖南·期中）水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足，其中为正常数，为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（    ）

【变式2】（2024·湖南益阳·三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%．刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（    ）

【变式3】（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．(a，b．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（   ）

【典例1】（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（    ）（参考数据：）

【典例2】（2024·山东泰安·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为和，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（    ）

【典例3】（多选）（2024·吉林·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的（    ）

【变式1】（2024·青海海西·模拟预测）北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是．按照这个规律，当m时，火箭的最大速度为；当m时，火箭的最大速度为．则（参考数据：）（    ）

【变式2】（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在进制的大量随机数据中，以开头的数出现的概率为，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（    ）倍（参考数据：

【变式3】（2024·全国·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则（    ）

【典例1】（2024·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ）

【典例2】（23-24高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ）

【典例3】（23-24高一上·河南平顶山·期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.

【变式1】（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ）

【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）某企业欲实现在今后10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到0.001)

【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元.

【典例1】（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别如下表所示.

【典例2】（23-24高一上·河南驻马店·期末）随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习．已知前四年，平台会员的个数如图所示：

【变式1】（23-24高一上·江西萍乡·期末）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示（注：第4年数据为截止到2023年10月底的数据）．

【变式2】（23-24高一上·福建漳州·期末）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心精准发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第30次发射任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务.航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：该专卖店每天销售一款特价航模，在过去的一个月内（以30天计）的特价航模日销售价格（元/个）与时间（一个月内的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示：

【典例1】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）设计中的经济原则是指以最低的费用取得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各方面的成本.白塔制药厂意图设计一条新的生产线，以满足市场需求.已知生产线每年需要投入的固定成本为万元，且年产量达到吨时，需要另外投入的成本为（万元），已知每吨药品的售价为60万元，每年所生产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线允许的最大年产量不超过280吨.

【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期末）某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），该零部件的面积是．

【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：

【变式2】（23-24高一上·江西宜春·期末）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．

1．（2024·陕西安康·模拟预测）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，，若是以年为单位，则的解析式为（    ）

2．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（ ）

3．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（    ）

4．（23-24高一上·云南红河·期末）在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：

5．（23-24高三上·湖北·期中）当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（    ）

6．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（    ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）

7．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(结果精确到小时，参考数据：)（    ）

8．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（    ）

9．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体验生活期间的薪资最多，下列方案选择正确的是（    ）

10．（2024高一上·江苏·专题练习）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示(横轴为投资时间，纵轴为每天的回报)．根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是（    ）

11．（2024·广东梅州·模拟预测）某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．

12．（2024高一·全国）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是，要使火箭的最大速度可达，则燃料质量与火箭质量的比值是 ．

13．（23-24高一下·江西景德镇·期中）杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.

14．（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：

1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（    ）（取：）

2．（23-24高一下·安徽·开学考试）中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置 能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：，）

3．（23-24高一下·上海闵行·期末）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：