第24讲 4.2指数函数（4.2.1指数函数的概念+4.2.2指数函数的图象和性质）
学习目标
第24讲 4.2指数函数（4.2.1指数函数的概念+4.2.2指数函数的图象和性质）
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①了解指数函数，掌握指数函数的形式 及条件，会根据底数区分两类函数。 ②掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。 ③能解决与指数函数有关的综合性问题。 | 通过本节课的学习，要求认识、了解指数函数的形式及要求，掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式、会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题. |
知识清单
知识点01：指数函数的概念
1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
2、学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
只有当或时，即，可以是任意实数.
（3）函数解析式形式要求：
指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.
知识点02：指数函数的图象与性质
1、函数的图象和性质如下表：
| 底数 | |||
| 图象 | |||
| 性 质 | 定义域 | ||
| 性 质 | 值域 | ||
| 性 质 | 定点 | 图象过定点 | 图象过定点 |
| 性 质 | 单调性 | 增函数 | 减函数 |
| 性 质 | 函数值的变化情况 | 当时， 当时， 当时， | 当时， 当时， 当时， |
| 对称性 | 对称性 | 函数与的图象关于轴对称 | 函数与的图象关于轴对称 |
2、指数函数的底数对图象的影响
函数的图象如图所示：
观察图象，我们有如下结论：
2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
知识点03：指数函数的定义域与值域
1、定义域：
（1）指数函数的定义域为
（2）的定义域与函数的定义域相同
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数的值域为
（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域
（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.
知识点04：指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
题型精讲
【即学即练1】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）给出下列函数，其中是指数函数的是（ ）
A．B．C．D．
题型01指数函数的判定与求值
【典例1】（23-24高一上·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（ ）
A．B． C． D．
【典例2】6．（2023高一·全国·专题练习）给定下列函数：
①； ②； ③，且； ④；
⑤； ⑥；⑦；⑧.
其中是指数函数的有 .（填序号）
【变式1】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023高一·江苏·专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【变式3】（多选）（23-24高一上·全国·期末）函数是指数函数，则的值不可以是（ ）
A．4B．3C．2D．1
题型02根据函数是指数函数求参数
【典例1】（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（ ）
A．或B．
C．D．且
【典例2】（23-24高一下·云南文山·期中）已知指数函数，则的值是 .
【变式1】（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（ ）
A．2B．1C．1或D．
【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）函数是指数函数，则有（ ）
A．或B．C．D．，且
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）已知函数是指数函数，求a的值.
题型03指数型函数图象过定点问题
【典例1】（23-24高一下·广西南宁·开学考试）函数且的图象恒过定点，则为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·湖北荆州·期末）函数 且）的图象恒过点 .
【变式1】（2024高一·全国·专题练习）当且时，函数必过定点 .
【变式2】（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则 .
题型04指数函数图象的识别
【典例1】（23-24高一上·全国·单元测试）若，则函数与的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·贵州黔东南·期末）函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知且，与的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高一上·福建三明·期末）函数图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高一上·河北衡水·期中）当时，函数和的图象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（23-24高一上·福建漳州·期中）函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
题型05画指数函数的图象
【典例1】（23-24高一·全国·课堂例题）说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：
(1)；
(2).
【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）根据函数的图像，画出下列函数的图像．
（1）； （2）； （3）．
【变式1】（23-24高一·全国·课堂例题）利用函数的图象，作出下列各函数的图象：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)．
【变式2】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数.
(1)在平面直角坐标系中画出函数的；
(2)根据函数的指出其单调递增区间和最大值与最小值.
题型06利用指数函数的单调性比较大小
【典例1】（23-24高一上·云南昆明·期末）若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024高一·全国·专题练习）判断下列各数的大小关系：
(1)与；
(2)
(3)，，
【变式1】（23-24高一上·广东中山·阶段练习）下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（23-24高一上·青海海东·期中）下列判断正确的有（ ）
A．B．
C．D．
题型07利用指数函数的单调性解不等式
【典例1】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知关于x的不等式 ，则该不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）不等式的解集是 .
【典例3】（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集为 ．
【变式1】（23-24高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一上·上海奉贤·期中）不等式的解集为 ．
【变式3】（23-24高一上·上海浦东新·期末）设，则关于x的不等式的解集是 .
题型08指数型复合函数的单调性
【典例1】（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二下·湖南衡阳·期中）的单调递减区间为
【变式1】（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型09与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
【典例1】（23-24高一上·重庆·期末）函数的值域是 .
【典例2】（23-24高一上·西藏那曲·期末）已知函数．
(1)若，求实数x的取值范围；
(2)求的值域．
【变式1】（23-24高一上·天津南开·期中）函数的值域为 ．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域
【典例1】（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ．
【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数，．
(1)当时，求函数的值域；
【典例3】（23-24高一上·四川资阳·期中）已知函数
(1)若，定义域为，求函数的值域；
【变式1】（23-24高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数的定义域为，
(1)当时，求函数的值域；
【变式2】（23-24高一上·全国·期中）设函数.
(1)若，求的值域；
【变式3】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数
(1)求函数的值域；
【典例1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)，使得成立，求实数的取值范围.
【典例2】（2024高二下·浙江·学业考试）设函数.
(1)判断函数在区间和上的单调性（不需要证明过程）；
(2)若函数在其定义域内为奇函数，求与的关系式；
(3)在（2）的条件下，当时，不等式在恒成立，求的取值范围.
【典例3】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)令（其中），求函数的值域.
【变式1】（2024·上海黄浦·二模）设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
【变式2】（23-24高一下·江苏·开学考试）已知函数
(1)若函数在区间上的最小值为，求实数的值；
(2)若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
【变式3】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求，的值；
(2)判断的单调性，并作简要说明，无需证明；
(3)若存在，使成立，求实数的取值范围.
强化训练
一、单选题
1．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）指数函数是减函数，则二次函数顶点横坐标的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则函数单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一上·河南郑州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
6．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）若函数在上为减函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，，且，则下列结论中，必成立的是（ ）
A．，，B．，，
C．D．
二、多选题
9．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数，则（ ）
A．不等式的解集是
B．，都有
C．是R上的递减函数
D．的值域为
10．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A．，B．的值域为
C．若，且，则D．若，则
三、填空题
11．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 .
12．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知，在R上为增函数，则实数的取值范围是
四、解答题
13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数．
(1)设，判断并证明函数的奇偶性；
(2)求关于的不等式的解集．
14．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求在上的解析式；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知是定义在上的奇函数,当时,,函数,如果对于任意,存在,使得,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知，若，使得，则实数m的取值范围是 .
4．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数满足，且.
(1)求的解析式，并判断的奇偶性；
(2)若对任意，，恒成立，求的取值范围.
1．（23-24高一上·四川乐山·期中）定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数．
(1)若是奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由；
(2)若在上是以为上界的函数，求的取值范围．