第23讲 4.1指数
学习目标
第23讲 4.1指数
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解根式和分数指数幂的含义， 并且能进行两者之间的互化。 ②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 ③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。 | 通过本节课的学习，能将初中的根式与本节课根式进行顺利对接与延伸，条件的扩充使指数的运算性质内容更充实，条件更充分，运算更彻底，因此本节课的内容具有承上启下的作用，通过本节课的学习要求掌握根式和分数指数幂的具体运算，并能进行两者的互化，运用实数指数幂的运算性质进行化简. |
知识清单
知识点01：整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：，其中，
2、正整数指数幂的运算法则：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知识点02：根式
1、次根式定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特别的：
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().
③负数没有偶次方根；
④的任何次方根都是，记作
2、根式：
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
在根式符号中，注意：
①，
②当为奇数时，对任意都有意义
③当为偶数时，只有当时才有意义.
3、与的区别：
①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
知识点03：分式指数幂
1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
知识点04：有理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
知识点05：无理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
题型精讲
【即学即练1】（23-24高一上·云南昭通·期末） .
【即学即练2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练3】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值( )
A．B．C．D．
题型01根式的概念
【典例1】（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知且，则有（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．16的4次方根是B．
C．D．
【典例3】（23-24高一上·江苏连云港·开学考试）化简的结果为 .
【变式1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）的运算结果是（ ）
A．3B．C．D．以上都不对
【变式2】（2023高一·江苏·专题练习）等于（ ）
A．4B．C．D．
【变式3】（23-24高一上·上海静安·期中）16的8次方根是 .
题型02根式的化简(求值)
【典例1】（23-24高一·全国·单元测试）化简的结果是（ ）
A．0B．C．0或D．
【典例2】（2024高一·上海·专题练习），则实数a的取值范围
【典例3】（2023高三·全国·专题练习）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1】（多选）（23-24高一上·湖南娄底·期末）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024高三下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3).
【变式3】（23-24高一·全国·课堂例题）化简下列各式：
(1)（，且）；
(2)．
题型03分数指数幂的简单计算
【典例1】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·北京·期中）求值：－＋ ＝ ．
【典例3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：
(1)
(2)；
【变式1】（2024高一上·全国·专题练习） .
【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）化简： .
【变式3】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）求值： ．
题型04条件求值
【典例1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求的值．
【典例3】（23-24高一上·江苏无锡·期中）（1）计算:．
（2）若，求下列式子的值：
①
②
【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足.
(1)求的值；
(2)求的值.
【变式3】（23-24高一上·河北唐山·期中）化简求值：
(1)；
(2)若，求的值.
强化训练
1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一上·云南昭通·期中）下列各式中正确的一项是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（ ）
A．2B．4C．D．
5．（23-24高一上·四川德阳·阶段练习）（ ）
A．110B．109C．108D．100
6．（多选）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高一上·湖北荆州·期中）（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知，，则下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 .
12．（2023高一上·全国·专题练习）已知，则的值为 ．
四、解答题
13．（23-24高一上·四川乐山·期中）解答以下两个小题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
14．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）求值：
(1)
(2)
1．（23-24高一下·云南·期中）已知（且），则 ．（结果用表示）
2．（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：
（1） =
（2）（=
（3 设，则的值为
3．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）计算：.
（2）化简：且.