第22讲 第三章 函数的概念与性质
学习目标
第22讲 第三章 函数的概念与性质
章节验收测评卷
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数定义判断即可得.
【详解】由函数定义可排除C，由值域为可排除A、B，
只有D选项为定义域为，值域为的函数的图象.
故选：D.
2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据分段函数的定义代入运算.
【详解】由题，.
故选：D.
3．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A．19B．C．1D．
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质即可求解.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以.
故选：D.
4．（23-24高一下·山东淄博·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得在上单调递增，根据奇偶性和单调性可得不等式的解集.
【详解】不妨令，则，
因为，所以，即，
所以在上单调递增，
又为定义在上的奇函数，则，
则在上单调递增，又，所以，
①当时，不等式等价于，等价于，
等价于，等价于，解得，
②当时，不等式等价于，等价于，
等价于，等价于，解得，
综上可得，不等式的解集为.
故选：C
5．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.
【详解】当时，，故当时，有最小值为；
时，单调递减，所以，
由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.
故选：A
6．（2024·全国·模拟预测）函数的值域（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将化简为，求出的值域，进而可求得的值域.
【详解】解：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D．
7．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】参变分离，转化为求的最小值问题，变形为，利用对勾函数性质求解可得.
【详解】分离参数得，
要使对任意，不等式恒成立，只需.
又因为，令，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以，所以.
故选：D
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由对任意的，都有，得在上单调递减，由函数是定义在上的奇函数得，，在上单调递减，画出的简图，即可求解．
【详解】对任意的，都有，
所以在上单调递减，
因为函数是定义在上的奇函数，，，
所以在上单调递减，则可画出的简图，如图所示，
所以，
则或或，
即或或，
解得，
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一上·山东滨州·期末）下列各组函数中，表示同一函数的为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ACD
【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同即可逐一判断.
【详解】对A，两个函数的定义域都为，且，
对应关系相同，是同一函数，A正确；
对B，定义域为，的定义域为，
故两个函数的定义域不相同，不是同一函数，B错误，
对于C, 两个函数的定义域均为，，
故两个函数的对应关系相同，是同一函数，C正确；
对于D，两个函数的定义域都为，且，
对应关系相同，是同一函数，D正确；
故选：ACD．
10．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知幂函数在上单调递减，若在上不单调，则实数的可能取值为（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】BC
【分析】根据幂函数的图象与性质，求得，再由二次函数的性质，求得，结合选项，即可求解.
【详解】由幂函数，可得，即，
解得或，
当时，可得在上单调递减，符合题意；
当时，可得在上单调递增，不符合题意；
又由函数在上不单调，则满足，
即，解得，
结合选项，可得选项BC符合题意.
故选：BC.
11．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是偶函数
C．D．的图象关于对称
【答案】BCD
【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得.
【详解】因为，，
令可得，解得或，
又当时，恒成立，所以，故A错误；
令，，则，即，
所以为偶函数，故B正确；
令，，则，所以，
令，，则，所以，故C正确；
令可得，
令，可得，又，
所以，即，
所以，
所以的图象关于对称，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过点，则 ．
【答案】3
【分析】由幂函数知，再代入点求出即可.
【详解】因为幂函数，所以，又幂函数图象过点，
，解得，所以.
故答案为：3.
13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ．
【答案】13
【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得可得，
令，则，，
∴当时取得最大值，
但由于，故当即时，，解得．
故答案为：13．
14．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ．
【答案】
【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案.
【详解】函数，在上单调递增，所以，
当时，在区间上单调递增，，
所以，解得，
又因为，所以，解得；
当时，在区间上单调递增，其最小值为，
所以有，解得，
当时，在区间上单调减，在上单调增，
其最小值为，
所以有，解得，
当时，在区间上单调减，，
此时，无解；
所以的取值范围是，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
【答案】(1)
(2)在区间上为严格增函数，证明见解析
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案；
（2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案．
【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，
则有，解得，
又由，解得，
所以，定义域为，
且，所以；
（2）在区间上为严格增函数．
证明如下：设任意，则，
由，得，
即，，，
所以，即，
故在区间上为严格增函数．
16．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数.
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)在单调递增，证明见解析
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）先转化，判断其单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证；
（2）利用（1）中结论即可得解.
【详解】（1）因为，
因为在单调递减，
所以在单调递增.
定义法证明如下：
任取，，则，
，
所以，故在单调递增.
（2）由（1）得在区间上单调递增，
所以，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
17．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上且，，当a，，时，有．
(1)试判断函数在上是增函数还是减函数，并证明该结论．
(2)设，求证：．
(3)若，求x的取值范围．
【答案】(1)增函数，证明见解析；
(2)证明见解析
(3)．
【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性即可；
（2）由（1）可得，结合和函数的单调性即可证明；
（3）由（1），利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】（1）任取，，且，则，又．
于是．
据已知，，则，即，
∴在上是增函数．
（2）由（1）得在上的最大值为，则，
又，则，
综上，．
（3）由，得．
又，则．
由（1）知在上是增函数，
∴．
即x的取值范围是．
18．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解；
（2）由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由函数为奇函数，且，
可得，则，解得，可得，
经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称，
可得，所以是奇函数，满足题意
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
因为，且，所以，，
所以，所以，即，
所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增．
（2）解：由题意，函数，令，可得，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为函数的对称轴方程为，
所以函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对任意的都有恒成立，
所以，即，解得，
又因为，所以，所以实数的取值范围是．
19．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知在定义域上是连续不断的函数，对于区间若存在，使得对任意的，都有，则称在区间上存在最大值.
(1)函数在区间存在最大值，求实数m的取值范围；
(2)若函数为奇函数，在上，，易证对任意，函数在区间上存在最大值M，试写出最大值M关于t的函数关系式；
(3)若对任意，函数在区间上存在最大值M，设最大值M关于t的函数关系式为，求证：“在定义域上是严格增函数”的充要条件是“在定义域上是严格增函数”.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）对实数m的取值范围进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，结合已知条件可得出关于实数m的不等式，综合可得出实数m的取值范围；
（2）根据奇偶性的性质可求得函数的解析式，然后求得方程在时的解，作出函数的图象，即可写出函数的解析式；
（3）利用函数的单调性与最值的关系结合已知条件证得，利用充分条件和必要条件的定义可证得结论成立．
【详解】（1）二次函数的对称轴为直线，
①当时，即当时，
函数在上单调递增，
则，合乎题意；
②当时，即当时，
函数在上单调递减，
在上单调递增，
若函数存在最大值，必有，
即，解得，此时；
③当时，即当时，
函数在上单调递减，
此时函数在上不存在最大值，不合乎题意．
综上所述，实数m的取值范围是；
（2）∵为奇函数，在上，
∴当时，，
，
作出的图象如图：
当时，可得，
当时，由，得，
∴，
∵函数在区间上存在最大值M，
∴当时，为增函数，
则最大值为，
当时，函数的最大值为，
当时，函数的最大值为，
综上得
（3）证明：若在定义域R上是严格增函数，
则函数在区间上也为增函数，
则也随着t的增大而增大，所以，
故函数在定义域R上是严格增函数；
即“在定义域R上是严格增函数”
⇒“在定义域R上是严格增函数”；
若函数在R上严格单调递增，
任取，则存在，使得，
因为，
则当时，，
且当时，，
则，所以，
因为函数在R上严格单调递增，
所以，即，，
故随着t的增大而增大，故函数在R上严格单调递增．
即“在定义域R上是严格增函数”⇐“在定义域R上是严格增函数”．
综上所述，“在定义域上是严格增函数”的充要条件是“在定义域上是严格增函数”.