第18讲 3.2.2奇偶性
学习目标
第18讲 3.2.2奇偶性
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系. ②利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围. ③能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题. | 通过本节课的学习，掌握判断函数奇偶性的方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式，能处理与函数单调性、周期性相关的综合问题. |
知识清单
知识点01：函数的奇偶性
1、定义：
1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
2、函数奇偶性的判断
2.1定义法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：
①若是奇函数
②若是偶函数
③若既是奇函数又是偶函数
④若既不是奇函数也不是偶函数
知识点02：奇函数，偶函数的性质
1、奇函数，偶函数的图象特征
设函数的定义域为
（1）是偶函数的图象关于轴对称；
（2）是奇函数的图象关于原点对称；
（3）若是奇函数且，则
2、函数的奇偶性与单调性的关系
（1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性；
（2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性；
3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系
设函数的定义域为（其中）
（1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同；
（2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数；
知识点03：对称性
1、轴对称：
设函数的定义域为，且是的对称轴，则有：
①；
②
③
2、点对称
设函数的定义域为，且是的对称中心，则有：
①；
②
③
3、拓展：
①若，则关于对称；
②若，则关于对称；
题型精讲
【即学即练1】（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（ ）
A．减函数且最小值是－4B．减函数且最大值是－4
C．增函数且最小值是－4D．增函数且最大值是－4
题型01函数奇偶性定义与判断
【典例1】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）判断下列函数的奇偶性
(1)；
(2)；
(3).
【典例2】（23-24高一上·河北邢台·期中）判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由．
(1)．
(2)．
(3)
【变式1】（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式2】（23-24高一上·河南郑州·期中）判断下列函数的奇偶性并证明
(1)；
(2)；
(3).
题型02由奇偶性求解析式
【典例1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 .
【典例2】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ．
【典例3】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知是上的奇函数，且当时，．
(1)求；
(2)求的解析式；
(3)画出的图象，并指出的单调区间．
【变式1】（2022高一上·河南·专题练习）已知偶函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高一上·云南临沧·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)画出函数图象．
【变式3】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知定义在上的奇函数，当时．
(1)求函数的表达式；
(2)请画出函数的图象；
(3)写出函数的单调区间．
题型03由奇偶性求参数
【典例1】（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．B．C．3D．2
【典例2】（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 .
【典例3】（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 .
【变式1】（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式2】（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 .
【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ．
题型04由奇偶性解不等式
【典例1】（23-24高一上·北京·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数：
(3)解不等式．
【变式1】（23-24高一下·湖北·开学考试）已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.
(1)确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性；
(2)解不等式.
【变式3】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并用定义法证明在上的单调性；
(3)解关于x的不等式．
题型05抽象函数的奇偶性
【典例1】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，求；
(3)若，判断并证明的单调性．
【典例2】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有
(1)求证：是奇函数；
(2)设，且当时，，求不等式的解集．
【典例3】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且．
(1)求；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)判断在上的单调性，并说明理由．
【变式1】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，.
(1)求，；
(2)判断的奇偶性，并证明；
【变式2】（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性，并证明.
【变式3】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）定义在上的函数满足，且不恒为0.
(1)求和的值；
(2)若在上单调递减，求不等式的解集.
题型06函数奇偶性的应用
【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知且，则的值是（ ）
A．B．C．1D．3
【典例2】（23-24高一上·广东·期末）已知函数，若，则 .
【变式1】（23-24高一上·内蒙古·期末）已知函数是上的奇函数，当时，，则（ ）
A．2B．-2C．3D．-3
【变式2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则 ．
题型07奇偶函数对称性的应用
【典例1】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【典例3】（2024高一·全国·专题练习）已知的最大值，最小值为，求的值
【变式1】（多选）（23-24高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．的图象关于点对称D．若在上单调递减，则
【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
题型08数学思想方法篇（数形结合）
【典例1】（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数是定义在R的偶函数，当时，．
(1)请画出函数图象，并求的解析式；
(2)，对，用表示，中的最大者，记为，写出函数的解析式（不需要写解答过程），并求的最小值．
【典例2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知定义在R上的奇函数，当时，．
(1)在给出的坐标系中画出的图象（网格小正方形的边长为1）；
(2)求函数在R上的解析式，并写出函数的值域及单调区间.
【变式1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性并用定义证明；
(2)用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像；
(3)用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 .
【变式2】（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是偶函数，当时，．
(1)求的值，并作出函数在区间上的大致图象；
(2)根据定义证明在区间上单调递增．
强化训练
一、单选题
1．（2024高二下·湖南·学业考试）如图，已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
2．（2024·山东·二模）已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若函数满足，则称为满足“倒负”变换的函数，在下列函数中，满足“倒负”变换的函数是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．2C．3D．
5．（23-24高一下·山东淄博·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024高三·全国·专题练习）如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间上是 （ ）．
A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为
C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为
7．（23-24高二下·陕西西安·期中）函数的部分图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高一·全国）已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（ ）
A．B．
C．D．的单调递增区间为
10．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．函数的定义域为，值域为
D．函数是增函数且是奇函数
三、填空题
11．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，且当时，，则 .
12．（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知函数是偶函数，则 .
四、解答题
13．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
14．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知奇函数.
(1)求，的值并确定函数的解析式；
(2)用定义法证明在上是增函数；
(3)解不等式.
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 .
4．（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 .
5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围．
1．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知在定义域上是连续不断的函数，对于区间若存在，使得对任意的，都有，则称在区间上存在最大值.
(1)函数在区间存在最大值，求实数m的取值范围；
(2)若函数为奇函数，在上，，易证对任意，函数在区间上存在最大值M，试写出最大值M关于t的函数关系式；
(3)若对任意，函数在区间上存在最大值M，设最大值M关于t的函数关系式为，求证：“在定义域上是严格增函数”的充要条件是“在定义域上是严格增函数”.