第17讲 3.2.1单调性与最大（小）值
学习目标
第17讲 3.2.1单调性与最大（小）值
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． ②掌握定义法证明函数单调性的步骤． ③掌握函数单调区间的写法. ④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. ⑤.会借助单调性求最值. ⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值． | 通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值. |
知识清单
知识点01：函数的单调性
1、增函数与减函数
1.1增函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
1.2减函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
3、常见函数的单调性
| 函数 | 单调性 |
| 一次函数（） | 当时，在上单调递增 |
| 一次函数（） | 当时，在上单调递减 |
| 反比例函数（） | 当时，在和上单调递减 |
| 反比例函数（） | 当时，在和上单调递增 |
| 二次函数（） 对称轴为 | 当时，在上单调递减； 在上单调递增 |
| 二次函数（） 对称轴为 | 当时，在上单调递增； 在上单调递减 |
知识点02：函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
知识点03：函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最大值；
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最小值；
知识点四：复合函数的单调性（同增异减）
一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：
| ：令：和 | ：令：和 | ：令：和 |
| 增 | 增 | 增 |
| 增 | 减 | 减 |
| 减 | 增 | 减 |
| 减 | 减 | 增 |
题型精讲
【即学即练1】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断函数在上的单调性，并加以证明
【即学即练2】（23-24高一上·山东青岛·期中）函数的单调递增区间是 ．
题型01定义法判断或证明函数单调性
【典例1】（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）已知函数过点
(1)求的解析式;
(2)证明函数在上单调递增.
【典例2】（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，且．
(1)求a的值；
(2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
【变式1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数.
【变式2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的图象过点.
(1)求实数的值；
(2)用定义法证明在上单调递增.
题型02求函数单调区间
【典例1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．和D．和
【典例2】（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 .
【变式1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 .
【变式3】（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数在区间A上是减函数，那么区间A是 .
题型03复合函数单调区间
【典例1】（23-24高一上·安徽六安·期中）函数的单调递减区间为 ．
【变式1】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）函数的单调递减区间为 ．
题型04根据函数的单调性求参数
【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是 .
题型05根据函数的单调性解不等式
【典例1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是 .
【变式1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是 ．
【变式2】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ．
题型06根据单调性（图象）求最值或值域
【典例1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）(多选)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m的取值范围可以是（ ）
A．[0，4]B．[，2]
C．[，2]D．[1，2]
【典例2】（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式1】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数.
(1)写出函数图象的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【变式2】（23-24高一上·北京·阶段练习）某班“数学兴趣小组”对函数（为常数）的图象和性质进行了探究，探究的部分过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
观察函数图象发现：函数的值域为 ．
题型07根据函数的最值（值域）求参数
【典例1】（多选）（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为9，则可能的取值为（ ）
A．4B．C．4D．
【典例2】（23-24高一上·广东中山·期中）已知函数．
(1)用函数单调性的定义证明：在上是单调递增；
(2)若函数在区间上的值域，求的值．
【变式1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A．4B．12C．D．
【变式2】（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 .
【变式3】（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数
(1)当时，求在区间上的值域；
(2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围．
题型08二次函数最值问题（含参）
【典例1】（2024高一·全国）已知函数在区间上的最小值是1，则（ ）
A．或B．C．D．或
【典例2】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知二次函数，且.
(1)若函数的最小值为，求的解析式；
(2)若，求函数在区间上的最小值.
【典例3】（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数是二次函数，且满足．
(1)求函数的解析式：
(2)求函数在区间的最小值．
【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）已知，定义域为，求其值域．
【变式2】（23-24高一上·四川达州·阶段练习）已知函数
(1)求在上的值域;
(2)求在区间上的最大值的最小值.
【变式3】（23-24高一上·北京西城·期中）设，其中．
(1)当时，求函数的图象与直线交点的坐标；
(2)若函数在上不具有单调性，求的取值范围：
(3)当时，求函数的最小值．
题型09函数不等式恒成立问题
【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数a的值；
(2)时，恒成立，求实数x的取值范围.
【变式1】（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ．
【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数.
(1)设，试比较的大小，并说明理由；
(2)若关于x的不等式在其定义域上恒成立，求实数m的取值范围.
【变式3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知，不等式的解集是.
(1)求的解析式；
(2)不等式组的正整数解仅有个，求实数取值范围；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【典例1】（23-24高一上·浙江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·四川内江·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围为 .
【典例3】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数在上的最大值为3，最小值为-1.
(1)求的解析式；
(2)若，使得，求实数的取值范围.
【变式1】（23-24高三上·江苏·阶段练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 .
【变式2】（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数.
(1)若对一切实数都成立，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数.
(1)若的单调递减区间是，求a的值.
(2)若关于x的不等式的解集为，求不等式的解集；
(3)若，求关于x的不等式的解集.
【变式1】（23-24高一上·上海·期末）已知函数．
(1)若的最大值为0，求实数a的值；
(2)设在区间上的最大值为，求的表达式；
(3)令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围．
【典例1】（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数.
(1)画出函数的图象；
(2)求的值；
(3)写出函数的单调递减区间.
【变式1】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知二次函数 的图象过原点，且满足 .
(1)求的解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出其单调递增区间；
(3)对于任意，函数在上都存在一个最大值，写出关于的函数解析式.
强化训练
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设，若，则（ ）
A．12B．16.C．2D．6
2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（ ）
A．B．3C．D．1
3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数在是单调增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024高一上·上海·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知表示，中的最大数，则的最小值为（ ）
A．B．C．0D．2
8．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数（为常数），则的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）若函数在上不单调，则实数的值可以是（ ）
A．-6B．-4C．0D．4
三、填空题
11．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为
12．（23-24高三·全国·对口高考）已知函数．若，那的最大值是 ．（注意：表示最小值）
四、解答题
13．（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数．
(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；
(2)求函数在区间上的值城．
14．（17-18高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数的图象过点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
(3)若且函数在上的值域为，求的值.
1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高一上·全国·期中）若对，使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知a为实数，函数，．
(1)设，，若函数的最大值等于2，求a的值；
(2)若对任意，都存在，使得，求a的取值范围；
(3)设，求的最小值．
1．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是（ ）
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，有最大值
C．对任意正整数，都有
D．
2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设．
(1)若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）；
(2)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由；
(3)求函数在内的“区间”．