必修一

第16讲 3.1.2函数的表示法

学习目标

第16讲 3.1.2函数的表示法

课程标准	学习目标
①了解函数的三种表示方法及特点； ②掌握求函数解析式的常用方法 ③了解与认识分段函数及其定义域 ④会用分析法与图象法表示分段函数，并能掌握分段函数的相关性质.	通过本节课的学习，熟练掌握函数的三种表示方法，会求函数的解析式，掌握分段函数的解析法与图象法的表示方法与性质.

知识清单

知识点01：函数的表示法

1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.

	优点	缺点	联系
解析法	①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质；	①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律；	解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
图象法	①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质；	①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值；	解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
列表法	①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值；	①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律；	解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

知识点02：求函数解析式

1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．

2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.

3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，

4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。

知识点03：分段函数

对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数．

注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；

（2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；

（3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集．

知识点04：函数的图象

1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）

①

②

③

④

注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.

2、函数图象的对称变换

①的图象的图象；

②的图象的图象；

③的图象的图象；

3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）

①的图象的图象；

（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）

②的图象的图象.

（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）

题型精讲

【即学即练1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）（1）已知函数，求函数的解析式.

（2）已知是二次函数，且，求的解析式.

（3）已知函数满足，求的解析式

【即学即练2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则 .

【即学即练3】（23-24高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象.

(1)．

【答案(1)图象见解析

题型01函数的三种表示法的应用

【典例1】（23-24高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（）

	1	2	3
	4	3	-1

A．-1B．0C．3D．4

【典例2】（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知函数分别由右表给出：满足的x的集合是 .

x	1	2	3	x	1	2	3
	1	3	1		3	2	1

【变式1】（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（）

A．前2年的产品产量增长速度越来越快B．前2年的产品产量增长速度越来越慢

C．第2年后，这种产品停止生产D．第2年后，这种产品产量保持不变

【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数的图象如图所示，则其解析式为．

【变式3】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数和分别由下表给出：

1	2	3	4	5
1	4	9	16	25
2	3	4	5	6
1	3	2	4	5

则．

题型02待定系数法求函数的解析式

【典例1】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式;

（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式.

【典例2】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）已知是一次函数，若，则的解析式为 .

【变式1】（23-24高三·全国）若二次函数满足，且，则的表达式为（）

A．B．

C．D．

【变式2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）（1）已知为二次函数，且，求函数的解析式；

题型03换元法求函数的解析式

【典例1】（23-24高一上·山东淄博·期中）（1）已知，求函数的解析式；

【典例2】（22-23高一上·安徽芜湖·阶段练习）（1）已知，求的解析式；

【变式1】（23-24高一上·甘肃金昌·期末）（1）已知，求函数的解析式；

题型04配凑法求函数的解析式

【典例1】（22-23高三·全国·对口高考）（1）已知，求；

【典例2】（23-24高一上·重庆涪陵·阶段练习）若，则

【变式1】（23-24高一上·四川达州·阶段练习）已知，求的解析式．

题型05方程组（消去）法求函数的解析式

【典例1】（23-24高一上·甘肃金昌·期末）已知，求函数的解析式；

【典例2】（23-24高一上·广东佛山·期中）根据下列条件，求的解析式．

(1)已知满足．

【变式1】（23-24高一上·四川成都·期中）（1）已知，求的解析式．

题型06求分段函数的值

【典例1】（23-24高一上·北京·期中）设，则=（）

A．3B．5C．-1D．1

【典例2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）设函数，则 .

【变式1】（23-24高一上·广东·期末）已知函数，则（）

A．2B．3C．4D．5

【变式2】（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）设函数，则

题型07根据分段函数的值求参数

【典例1】（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数．若．则实数（）

A．B．1C．D．2

【典例2】（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则．

【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设函数，若，则（）

A．B．C．或D．或

【变式2】（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数，若，则实数；

题型08分段函数的值域或最值问题

【典例1】（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（）

A．B．C．D．

【典例2】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·期中）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（）

A．3B．4C．5D．6

【典例3】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则的最小值是．

【变式1】（23-24高一上·云南保山·期中）函数的值域是（）

A．B．C．D．

【变式2】（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为；若在区间上的值域为，则的最大值为．

【变式3】（23-24高一上·山西运城·期中）已知函数.

(1)画出函数的图象并写出它的值域；

(2)若，求x的取值范围.

题型09解分段不等式

【典例1】（2024·北京东城·二模）设函数，则，不等式的解集是 .

【典例2】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数,若，则的取值范围是 .

【变式1】（23-24高一下·浙江·阶段练习）定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是．

【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是 .

【变式3】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数若，则的取值范围为 .

【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（）

A． B．

C． D．

【典例2】（22-23高一上·云南德宏·期中）函数的图象是（）

A． B．

C． D．

【变式1】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）函数的大致图象是（）

A．B．

C．D．

【变式2】（23-24高一上·陕西西安·期中）函数的图象是（）

A．B．

C．D．

【典例1】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数.

(1)写出的分段函数形式的解析式；

(2)画出函数的图象；

(3)当时，求实数的取值范围.

【典例2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设函数

(1)将函数写成分段函数并画出函数的图像；

(2)求的值；

(3)求不等式的解集.

【变式1】（23-24高一上·甘肃武威·期中）已知函数.作出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.

【变式2】（23-24高一上·江西赣州·期末）设函数．

(1)在平面直角坐标系中画出它的图象；

(2)解不等式．

【典例1】（2024·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（）