第14讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第14讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式
章节验收测评卷
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用特值或不等式的性质可得答案.
【详解】对于A， ，而，A不成立；
对于B，，而，B不成立；
对于C，，因为，所以，，即，C不成立；
对于D，，因为，所以，即，D成立.
故选：D
2．不等式的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接求解二次不等式即可.
【详解】不等式的解为.
故选：A.
3．若，则有（ ）
A．最小值B．最小值
C．最大值D．最大值
【答案】A
【分析】利用基本不等式求出最值.
【详解】因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以当时，则有最小值6.
故选：A.
4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案.
【详解】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了，
即糖水的浓度增加了，
加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：；
所以.
故选：A.
5．已知关于x的不等式的解集是，则实数a的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根据不等式的解集可得答案.
【详解】由得，
因为不等式的解集是，
所以，解得.
故选：B.
6．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出的值，再解不等式.
【详解】根据题意，方程的两根为2和3，
则，
则为，其解集为.
故选：D.
7．若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．或，D．或，
【答案】D
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.
【详解】因为，且，
所以．
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得或，
所以m的取值范围是．
故选：D．
8．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．或，B．或，
C．或，D．或，
【答案】A
【分析】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可.
【详解】由，得，
当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去；
当时，不等式的解集为，此时若有个整数解，
此时，解集中的三个整数分别为、、，则需；
当时，不等式的解集为，此时若有个整数解，
此时，解集中的三个整数分别为、、，则需
综上：所以或，
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列不等式中，推理正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若 ，则
【答案】CD
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，例如，此时，所以A错误；
对于B中，若，可得，则，所以B错误；
对于C中，由，可得，可得，即，所以C正确；
对于D中， ，由不等式的性质，可得，所以D正确.
故选：CD.
10．已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据已知可直接得到A；根据换元法得B；乘“1”法得到C；基本不等式判断D即可.
【详解】对于A，由题可得，即，故A正确；
对于B，因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，故B不正确；
对于，当且仅当时，等号成立，故正确；
对于D，，当且仅当时，等号成立，故D不正确.
故选：AC.
11．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利于根与系数的关系，结合二次函数的图象与性质求解.
【详解】由关于的不等式的解集是，其中，
所以，且是方程的两根，
所以，，
所以，，故正确；
又因为，故错误；
作出和的图象，则为两函数图象交点的横坐标，
由图象可知，故正确；
故选：.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．实数，满足，．则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，求出、，再根据不等式的性质计算可得.
【详解】设，所以，解得，
即，
因为，所以，
又，所以，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
13．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】当时，不等式为，显然不符合题意；
当时，因为关于的不等式的解集为，
所以有，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
14．已知实数，满足，且，那么的最小值是 .
【答案】10
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】实数，满足，且
∴，
∴
当且仅当，即时取等号．
故答案为：10．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．比较下列两式大小：
(1)与
(2)与
【答案】(1)
(2)
【分析】根据题意，结合作差比较法，即可求解.
【详解】（1）解：由，
所以.
（2）解：由，
所以．
16．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数的图象与轴交于，两点，求的最小值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；
（2），由韦达定理得到两根之和，两根之积，进而得到，求出最小值.
【详解】（1）时，，解得或，
原不等式的解集为或；
（2）令，
由得，
故，
故
，
当时，取得最小值，最小值为.
17．甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元.
(1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶?
【答案】(1)，定义域为
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意货车每小时的运输的可变成本为元，固定成本为a元，求和后乘以时间即可；
（2）由（1）的结论，利用基本不等式求最小值作答.
【详解】（1）由题意得可变成本为元，固定成本为a元，
所用时间为，
则，定义域为．
（2）由（1）得，当且仅当，即时取等号，
易知函数在上单调递减，在上单调递增.
又，
所以当时，货车以km/h的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小．
18．设．
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值；
(3)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)4
(3)答案见解析
【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解；
（2）变形为，利用基本不等式求解可得；
（3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可.
【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立.
当时，不等式为，不合题意；
当时，，解得：；
综上所述：实数m的取值范围为．
（2），，
，
（当且仅当，即时取等号），的最小值为4．
（3）由得：；
①当时，，解得：，即不等式解集为；
②当时，令，解得：，；
1）当，即时，不等式解集为；
2）当，即时，不等式解集为；
3）当，即时，不等式可化为，
，不等式解集为；
4）当，即时，不等式解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由．
【答案】(1)“上位点”为，“下位点”为；
(2)是，证明见解析
(3)
【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标.
（2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”.
（3）借助（2）的结论证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值.
【详解】（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个“下位点”坐标分别为和；
（2）点是点的“下位点”，
证明：点是点的“上位点”，
又均大于， ，
，即，
所以点是点的“下位点”.
（3）可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，
证明：点是点的“上位点”，
均大于， ，
，
即，所以点是点的“上位点”，
同理可得，即，
所以点是点的“下位点”，
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”．
根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对时恒成立，
根据上述的结论可知，当，时，满足条件.
故：
【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键.