第13讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式

【典例1】（23-24高一上·湖北武汉·期末）若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 .

【典例2】（23-24高一上·云南德宏·期末）已知．

【变式1】（23-24高一上·北京密云·期末）已知函数.

【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）已知关于的不等式.

【典例1】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（　　）

【典例2】（23-24高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式.

【变式1】（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式的解集是，则的值是（    ）

【变式2】（多选）（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ）

【变式3】（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知一元二次不等式的解集为，求的值.

【典例1】（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ）

【典例2】（23-24高一上·山东·期中）已知函数.

【变式1】（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ）

【变式2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程 ，当方程的根满足下列条件时，求的取值范围.

【典例1】（23-24高一上·河北·阶段练习）若命题“”为假命题，则的最大值为（    ）

【典例2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数．

【变式1】（23-24高一上·安徽合肥·期中）命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）

【变式2】（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 .

【变式3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .

【变式4】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 .

【典例1】（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ）

【典例2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 .

【变式1】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）若正数满足，则的最小值为

【变式2】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．

【变式3】（2024·四川成都·模拟预测）已知实数，若，则的最小值为 ．

【典例1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ）

【典例2】（多选）（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设正实数，，且满足，则（    ）

【变式1】（多选）（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知正数满足，则（    ）

【变式2】（2024高二下·浙江·学业考试）已知正实数，满足，则的最小值为 ．

【变式3】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．

【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ）

【典例2】（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ）

【变式1】（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

【变式2】（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．

【变式3】（23-24高一下·江苏镇江·开学考试）设，若恒成立，则的取值范围为 .

【典例1】（23-24高三下·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（    ）

【典例2】（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？

【变式1】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ）

【变式2】（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间.

【变式3】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？

【变式4】（23-24高一上·四川成都·期中）石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x元）在时，本次活动售出的件数，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为 元．

【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，且实数，满足，则实数的取值范围是（    ）

【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ．

【变式1】（多选）（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（    ）

【典例1】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数

【典例2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知命题：“”是真命题

【典例1】（多选）（23-24高二上·云南大理·期末）已知且，若恒成立，则实数可取（    ）

【典例2】（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．

【变式1】（多选）（23-24高一上·福建泉州·期中）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（    ）