第12讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式拓展提升
学习目标
第12讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式拓展提升
题型精讲
题型01一元二次不等式（根与系数的关系）
【典例1】（23-24高一上·重庆北碚·阶段练习）已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
【典例2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知不等式的解集为.
(1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
(2)若为非零实数，解关于的不等式：.
【变式1】（多选）（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．当时，的最小值为
【变式2】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）关于的不等式，下列说法正确的是（ ）
A．若关于的二次不等式的解集为或，则二次函数的零点为
B．若关于的二次不等式的解集为或，则的解集为
C．若关于的二次不等式的解集为则R，则且
D．若关于的二次不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同，则
【变式3】（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
【变式4】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为．
(1)若，求与的关系式；
(2)若均为负整数，且，求的解析式；
(3)若，求证：．
题型02分式不等式
【典例1】（23-24高一上·上海黄浦·期中）解关于的不等式：．
【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）回答下列各题：
(1)求不等式的解集；
(2)求关于的不等式的解集.
【变式1】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）求下列不等式的解集：.
【变式2】（23-24高三上·山东菏泽·期中）解不等式：.
【变式3】（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）求下列不等式的解集：
.
题型03一元二次不等式（含参）的求解
（两根大小不确定从两根相等开始讨论）
【典例1】（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数．
(1)若的解集为，求a，b的值；
(2)解关于x的不等式．
【典例2】（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【变式1】（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）解关于x的不等式；
【变式2】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数.
(1)解关于的不等式：；
题型04一元二次不等式（含参）的求解（首项系数含参从0开始讨论）
【典例1】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）
（1）当时，求关于x的不等式的解集．
【典例2】（23-24高一上·陕西渭南·期末）设.
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【变式1】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，解关于x的不等式．
【变式2】（23-24高一上·天津·期末）函数.
(1)若的解集是或，求不等式的解集；
(2)当时，求关于的不等式的解集.
题型05一元二次不等式（含参）的求解（不可因式分解型）
【典例1】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）回答下面两题：
(1)解关于x的不等式．
【典例2】（23-24高一上·重庆·期末）若函数，
1)当时，求的解集.
题型06基本不等式（凑配法）
【典例1】（山东省威海市2021-2022学年高二下学期期末统考数学试题）成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 .
【变式1】（23-24高一上·吉林长春·期末）函数（）的最小值为 ．
【变式2】（23-24高一上·上海嘉定·期末）当，则的最小值为 .
题型07基本不等式（分离法）
【典例1】（2024高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是
【典例2】（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为 .
【变式1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值；
【变式2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）
(1)求函数的最小值．
【变式3】（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）（1）已知，求函数的值域；
题型08 基本不等式（换元法）
【典例1】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则的最小值为 .
【典例2】（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知正数满足，则的最小值为 .
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设为实数，若，则的最大值是 ．
【变式2】（23-24高一下·浙江衢州·阶段练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 .
【变式3】（23-24高一上·山西·期中）若非零实数，满足，则的最大值为 .
【变式4】（23-24高三上·重庆云阳·阶段练习）已知且， 则的最小值为
题型09基本不等式（常数代换“1”的代换）
【典例1】（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 .
【典例2】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 .
【变式2】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ．
【变式3】（2024·四川成都·模拟预测）已知实数，若，则的最小值为 ．
【典例1】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·开学考试）已知，，，则的最小值为 .
【变式1】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
【变式2】（23-24高二下·上海金山·阶段练习）已知正数、满足，则的最小值为 .
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）当时，的最小值为 .
【变式1】（23-24高二上·河南郑州·期中）函数的最小值为 .