第10讲 2.2基本不等式

【即学即练1】（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ）

【典例1】（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ）

【典例2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）下列推导过程中，正确的有 .（填写序号）①若，则，的最小值为2；②若，则；③若，，则；④若对，恒成立，则的取值范围是.

【变式1】（多选）（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）下列判断正确的有（    ）

【变式2】（多选）（23-24高一上·广东江门·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）

【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ）

【典例2】（多选）（23-24高一上·广东茂名·期末）小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（    ）

【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）已知且,那么（   ）

【变式2】（多选）（23-24高一·全国·单元测试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（    ）

【典例1】（23-24高一·全国·随堂练习）设，，求证下列不等式：

【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知，，，求证：

【变式1】（23-24高一·全国·课堂例题）设a，b为正数，证明下列不等式成立：

【变式2】（2024·四川雅安·模拟预测）已知，，且，证明：

【典例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ）

【典例2】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，求：

【变式1】（23-24高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（    ）

【变式2】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知，则的最大值为（    ）

【变式3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设，求函数的最大值.

【典例1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，则的最小值为（    ）

【典例2】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知，，，则的最小值为

【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ）

【变式2】（23-24高一上·北京·期中）若, 则的最小值是 ; 此时的值为 .

【变式3】（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数，那么当 时，函数取得最小值为 ．

【典例1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ）

【典例2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）求解下列各题：

【变式1】（23-24高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ）

【变式2】（23-24高一上·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ．

【变式3】（22-23高一上·甘肃金昌·阶段练习）求解下列各题：

【典例1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 .

【典例2】（2024高三下·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 .

【变式1】（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（    ）

【变式2】（23-24高三上·上海松江·阶段练习）设正实数x、y、z满足，则的最大值为 .

【典例1】（23-24高一上·陕西西安·期中）若，，且，恒成立，则实数的范围是（        ）

【典例2】（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

【变式1】（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）

【变式2】（23-24高二上·湖南·期中）已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）

【变式3】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若命题“，为真命题，则的最小值为 .

【典例1】（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（    ）

【典例2】（23-24高一上·浙江·期中）第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某杭州纪念品商家为了迎合亚运会拟举行促销活动.经调查测算，商品的年销售量（万件）与年促销费用（万元）满足如下关系：（为常数），如果不搞促销活动，则商品年销售量为万件.已知商家每年固定投入万元（门店租赁、水电费用等），商品的进货价为元/件，商家对商品的售价定为每件产品的年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和产品进货投入）.

【变式1】（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ）

【变式2】（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元.

【变式3】（23-24高一上·青海西宁·期末）某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为1800元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为2元，且每件产品平均仓储时间为天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元．

【典例1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）方程在区间内有解，则实数的取值范围是（    ）

【典例2】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数表示不超过的最大整数，例如.已知，则函数的取值范围为（    ）

【变式1】（22-23高一下·云南普洱·阶段练习）函数的最小值为（    ）

【变式2】（2024高三·全国·专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ．

【典例1】（23-24高一上·贵州六盘水·期末）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 .

【典例2】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）(1)已知a，，比较与的大小，并说明理由．

【变式1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，则的最大值为（    ）

【变式2】（23-24高一上·安徽合肥·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 .

【典例1】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则的最小值为 .

【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ．

【变式1】（2024高二下·浙江·学业考试）已知正实数，满足，则的最小值为 ．

【变式2】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，.

【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）若，，且，则的最小值为 .

【典例2】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）若正数满足，则的最小值为

【变式1】（2024·安徽·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ）

【变式2】（多选）（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数满足，则（    ）

【典例1】（2024高三上·河南·专题练习）已知，且，则的最小值是（    ）

【典例2】（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．

【变式1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ）

【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知，，且.

【典例1】（多选）（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）下列运用基本不等式求最值，正确的有（    ）

【典例2】（多选）（23-24高一上·山东济南·阶段练习）下列说法正确的是（    ）

【变式1】（23-24高一·江苏·课后作业）证明：

1．（23-24高一上·广东潮州·期末）设，则函数的最小值为（ ）

2．（23-24高一上·新疆·期中）已知，则的最小值是（    ）

3．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数，的最小值为（    ）

4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知，则的最大值为（    ）

5．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，则函数，的最小值为（    ）

6．（2024·福建·模拟预测）已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（　　）

7．（2024·河南南阳·一模）已知正实数满足，则的最小值为（    ）

8．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数，，满足，则的最小值为（    ）

9．（23-24高一上·山东临沂·期末）下列命题中正确的是（    ）

10．（23-24高一上·江苏盐城·期末）设，，已知，，则下列说法正确的是（    ）

11．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为

12．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）设且，则的最小值为 ．

13．（23-24高一上·青海海东·期中）已知，，且.

14．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值；

1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，则下列选项中，能使取得最小值18的为（    ）

2．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ）

3．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）若，，且，则的最小值为 .

4．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）设正整数，有穷数列满足，且，定义积值