第08讲 第一章 集合与常用逻辑用语
学习目标
第08讲 第一章 集合与常用逻辑用语
章节验收测评卷
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据并集含义即可得到答案.
【详解】.
故选：B.
2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）命题“，都有”的否定是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，都有D．，都有
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据全称命题的否定为特称命题知：
命题“，都有”的否定是“，使得”，
故选：A.
3．（23-24高二下·全国·期末）设集合，集合，定义，则中元素个数是（ ）
A．7B．10C．D．
【答案】B
【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可.
【详解】集合，集合
，
，
共有10个元素.
故选：B．
4．（2023·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意是的子集，从而求解.
【详解】，
因为的充分条件是，所以，
则，
故选：B.
5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
【答案】D
【分析】根据集合的描述法确定集合中的元素，根据交集的概念可得，从而根据其元素个数得子集个数.
【详解】因为，
，
所以，所以的子集个数为．
故选：D．
6．（23-24高三上·河南焦作·开学考试）对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】对任意的，记，则，利用题中定义、不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】对任意的，记，则，
若，则，即，则，
因为，，则，由不等式的基本性质可得，
所以，，所以，，即，
所以，“”“”；
若，如取，，则，故“” “”.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题，
因为集合，集合
所以，当时，，此时成立，
当时，由“，”得，解得，
综上，实数的取值范围为
故选：A.
8．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出为真命题时的范围，进一步可得答案．
【详解】由，得，
，，
则当时，取最小值2，所以，
命题，则，即，
若命题均为假命题，则且，即，
∴实数的取值范围为．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）已知集合，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】先求出集合，再有交集，并集和补集的定义求解即可.
【详解】因为，
对于A，所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AC.
10．（23-24高一上·湖南株洲·开学考试）已知集合，则下列说法中错误的是（ ）
A．若A中只有一个元素，则B．若A中至少有一个元素，则
C．若A中至多有一个元素，则D．若A中恰有两个元素，则
【答案】ACD
【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可判断选项.
【详解】对于选项A：若A中只有一个元素，
即方程有一个根，或两个相等实根，
当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程有两个相等实根，
所以，即，
所以当A中只有一个元素时，则或，故A错误；
对于选项B：若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或两个元素，
当A中有一个元素时，由前面可知，或；
当A中有两个元素时，方程有两个不等实根，
所以即且，
所以若A中至少有一个元素，则，故B正确；
对于选项C：若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素，
当A中有一个元素时，由前面可知，或；
当A中没有元素时，即方程无实根，
所以即，
所以若A中至多有一个元素，则或；故C错误；
对于选项D：若A中恰有两个元素，由前面可知，且，故D错误；
故选：ACD
11．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）设集合，，如果，则可能的取值是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】AB
【分析】根据题意，由条件可得，然后分类讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】∵，∴，
∵，∴，
①当，即时，得，，无解.
②当，即，
③当，即，，无解，
④当，即，.
所以的取值范围为.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若命题“”为假命题，请写出一个满足条件的的值 ．
【答案】1（答案不唯一，1或2均可）
【分析】找出原命题的等价命题，即可写出答案.
【详解】或，
命题“”为假命题，所以的值可取1或2.
故答案为：1.
13．（23-24高一上·广东珠海·期中）建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ．
【答案】
【分析】根据韦恩图得到方程组，根据方程组的特点进行求解即可.
【详解】由韦恩图可知：，
故答案为：
14．（23-24高一上·北京·期中）设，，若，则实数的值可以为 ．
（将你认为正确的序号都填上，若填写有一个错误选项，此题得零分）
① ② ③ ④
【答案】①②④
【分析】根据交集的定义以及集合的包含关系求得结果.
【详解】集合，由可得，
则分和或或，
当时，满足即可；
当时，满足，解得：；
当时，满足，解得：；
当时，显然不符合条件，
所以的值可以为.
故答案为：①②④.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合.
(1)当时，求
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据集合的并运算即可求解，
（2）根据集合间的关系，分类讨论为空集和非空集两种情况即可求解.
【详解】（1）当时，，
所以.
（2）当时，，解得.
当时，或
解得，
综上，或.
所以的取值范围是或.
16．（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合．
(1)当时，求和；
(2)若________，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出集合，再求出，进而可得集合；
（2）分情况处理，若选择①，考虑的情形即可，要分和两种情况分析；若选择②，考虑且的情形即可；若选择③，考虑的情形即可，要分和两种情况分析.
【详解】（1）当时，集合，
所以，
又因为，所以.
（2）若选择①，，则，
当时，，解得：，
当时，又，
所以，得，
所以实数a的取值范围是．
若选择②，““是“”的充分不必要条件，
则且，
因为，
或，解得：，
由于无解，不成立，
所以实数a的取值范围是．（不检验扣1分）
若选择③，，
当时，，解得：，
当时，又，则，
解得：或，
所以实数a的取值范围是或，
17．（23-24高一上·上海·期末）已知集合.
(1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；
(2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围.
【答案】(1)或，或
(2)
【分析】（1）考虑和且两种情况.
（2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况.
【详解】（1）时，解得符合题意；
时令解得，
此时，
解得符合题意，
故或，或
（2）若至少有两个子集，则至少有一个元素.
由（1）知或时符合题意.
由题意可知时若也符合题意.
即解得且.
综上.
18．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）（1）设全集，已知，求实数满足的条件.
（2）已知关于的一元二次方程的两根都是整数，求满足条件的整数的值.
【答案】（1）若，则；若，则；若，则；若，则； （2）.
【分析】（1）解方程得到集合，根据得到，分类讨论进而求得实数满足的条件；
（2）解方程得两根为均为整数，进而得到a的取值.
【详解】（1），解得或，即.
因为，所以.
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则
（2）解：依题意，显然，
原方程可变形为，其两根为，
即要求为整数，
因此符合条件的整数为.
19．（23-24高一下·北京·阶段练习）对于任意的，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称A具有性质Ω.如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质Ω.
(1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质Ω.
(2)证明：不存在A､B具有性质Ω，且，使.
(3)若存在A､B具有性质Ω，且，使，求n的最大值.
【答案】(1)，中的元素个数分别为9，14，不具有性质．
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知条件能求出集合，中的元素个数，并判断出不具有性质．
（2）假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，，从而，由此推导出与具有性质矛盾．从而假设不成立，即不存在，具有性质，且，使．
（3）当时，不存在，具有性质，且，使．，根据、、分类讨论，能求出的最大值为14．
【详解】（1）解： 对于任意的，记集合，2，3，，，．当时，；
当时，，集合，中的元素个数分别为9，，
集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质，
因为，，，，不符合题意，
不具有性质．
（2）证明：假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，．
因为，所以，
不妨设．因为，所以，．
同理，，．因为，这与具有性质矛盾．
所以假设不成立，即不存在，具有性质，且，使．
（3）解：因为当时，，由（2）知，不存在，具有性质，且，使．
若，当时，，
取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，，
则，具有性质，且，使．
当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为，
令，，
则，具有性质，且，使．
当时，集中除整数外，其余的数组成集合，
令，．
则，具有性质，且，使．
集合中的数均为无理数，
它与中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令，，则，且．
综上，所求的最大值为14．