第05讲 1.5全称量词与存在量词
学习目标
第05讲 1.5全称量词与存在量词
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法. ②理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定的数学要求 | 1．通过学习能准确判定全称量词命题与存在量词命题的真假性，会用数学符号准确表达题的具体要求. 2．能根据题的具体要求准确写出两类量词命题的否定，会求在两类量词命题中的待定参数.以及与两类量词有关的命题的综合问题. |
知识清单
知识点01：全称量词与全称量词命题
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
知识点02：存在量词与存在量词命题
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
知识点03：全称量词命题和存在量词命题的否定
1全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
2存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
题型精讲
【即学即练1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
题型01 判断全称命题与特称命题
【典例1】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．所有正方形都是矩形B．，使
C．至少有一个实数，使D．，使
【典例2】（2024高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)正方形的四条边相等；
(2)至少有一个正整数是偶数；
(3)正数的平方根不等于0；
(4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.
【变式1】（多选）（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．矩形的对角线互相平分且相等
B．对任意非正数c，若，则
C．有些菱形不是平行四边形
D．对任意实数x，不等式恒成立
【变式2】（23-24高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：
(1)实数都能写成小数；
(2)在实数集内，有些一元二次方程无解；
(3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；
(4)存在一个自然数n，使代数式的值是负数．
题型02全称命题与特称命题的否定
【典例1】（2024高二下·浙江·学业考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【典例2】（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024高二下·湖南·学业考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
题型03 全称命题、特称命题与充分（必要）条件
【典例1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围.
【典例2】（23-24高一上·湖南·期中）已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
(1)求集合；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【变式1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【变式2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知集合，．
(1)时，求
(2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围．
【变式3】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围．
【变式4】（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）设全集，集合，非空集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围.
题型04 根据全称命题的真假求参数
【典例1】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 .
【典例3】（2024高一·江苏·专题练习），恒成立，求实数m的取值范围．
【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“”为真命题的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高一上·海南·阶段练习）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 .
题型05 根据特称命题的真假求参数
【典例1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“使不等式”为假命题，求实数的取值范围.
【变式1】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）命题是假命题，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（2024·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若命题为真命题，求实数的值．
题型06 简单的恒成立与有解问题
【典例1】（23-24高一上·四川绵阳·期中）命题：“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ．
【变式1】（2024·海南·模拟预测）若，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（ ）
A．B．C．0D．3
【变式3】（23-24高一上·北京通州·期中）能说明“”为假命题的一个实数的值为 .
题型07 方法一:判别法
【典例1】（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 .
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）若，方程恒有解，求实数的取值范围.
【变式1】（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）已知命题，，若是假命题，则实数的取值范围为
【变式2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（1）若命题“，”为假命题，求的取值范围．
题型08 方法二：变量分离法
【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（多选）（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
强化训练
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（23-24高二下·浙江·期中）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高一上·全国·专题练习）已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
4．（2024高三·全国·专题练习）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．¬p：∀x∈A，2x∉B
B．¬p：∀x∉A，2x∉B
C．¬p：∀x∉A，2x∈B
D．¬p：∃x∈A，2x∉B
5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）命题p：，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（ ）
A．B．C．0D．1
10．（23-24高一上·四川达州·期中）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（23-24高一上·吉林·阶段练习）命题“”的否定是 .
12．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知命题：，使得，若是真命题，则的取值范围是 .
四、解答题
13．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题，命题q：.
(1)写出命题的否定；若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在；请说明理由.
14．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知命题p：，，命题q：，使得
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围.
1．（23-24高三上·江苏南京·开学考试）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
1．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （ ）
A．①②都是真命题B．①是真命题②是假命题
C．①是假命题②是真命题D．①②都是假命题
2．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是 .
①具有性质；
②若集合具有性质，则；
③集合具有性质，若，则.