第04讲 1.4充分条件与必要条件
学习目标
第04讲 1.4充分条件与必要条件
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求. ②会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件. | 1．能利用命题成立的充分、必要、充要条件对命题的形式进行判断. 2.能利用充分、必要条件求参数以及进行简单的证明. |
知识清单
知识点01：充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作：
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
题型精讲
【即学即练1】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）若非空集合，则“或”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【即学即练2】（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
题型01判断命题的真假
【典例1】（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中：
①关于x的方程是一元二次方程；
②空集是任意非空集合的真子集；
③如果，那么；
④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ）
A．①②③B．②③C．②③④D．①②④
【典例2】（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）下列命题中真命题的编号是
①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足的集合有7个.
【变式1】（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖；
乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的；
丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中．
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）．
A．甲和丁B．乙和丙
C．甲和丙D．乙和丁
【变式2】（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列命题中为真命题的有（ ）
A．所有的素数都是奇数.
B．的个位数字不等于2.
C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例.
D．存在一个无理数，它的立方是有理数.
题型02充分条件、必要条件的判断
【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】（23-24高一上·天津·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【典例3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）.
（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件.
【变式1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）“”是“” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2】（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3】（23-24高一上·湖北·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式4】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
题型03 根据充分性，必要性求参数
【典例1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ．
【典例3】（23-24高一下·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，．
(1)求；
(2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【典例4】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，.
（1）求集合；
（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【变式1】（多选）（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．1
【变式2】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 .
【变式3】（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或．
(1)当时，求，；
(2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【变式4】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知，
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
题型04探索命题为真的充要条件
【典例1】（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分非必条件
【典例2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 ．
【典例3】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的________条件，判断实数是否存在？
【典例4】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知命题，命题.
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围.
（2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式1】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3】（23-24高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）命题“”的一个充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
题型05 易错题型：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
【典例1】（23-24高二下·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ．
强化训练
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高一上·广东东莞·期末）使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．或B．或
C．D．
6．（2024·贵州·模拟预测）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数有两个异号零点的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高一上·福建泉州·期中）使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A．B．0C．3D．
10．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
三、填空题
11．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为
12．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 .
四、解答题
13．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，．
(1)求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
14．（23-24高一下·云南大理·开学考试）已知集合，集合.
(1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
1．（23-24高一上·河北·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
3．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若______，求实数的取值范围．
请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题．
①；②“”是“”充分不必要条件；③．
4．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根.
(1)若是假命题，求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由.
1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题：
①任意集合
②任意集合
③任意集合
④若，则
其中，所有正确命题的序号是 .
3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.