第03讲 1.3集合的基本运算
学习目标
第03讲 1.3集合的基本运算
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解并集、交集的概念，能进行交、并的混合运算. ②理解全集与补集的意义，能求在给定全集下任何子集的补集 | 1．能综合运用集合的运算性质，并能正确地进行交、并、补集的综合运算. 2． 理解集合运算的思想，能运用补集思想解题. |
知识清单
知识点01：并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对并集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
知识点02：交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对交集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
知识点03：全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
知识点04：德摩根律
(1)
(2)
知识点05：容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
题型精讲
【即学即练1】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．或B．或
C．D．
【即学即练2】（23-24高一下·云南保山·期中）已知集合，，那么集合等于（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练3】（浙江省县域教研联盟2023-2024学年高二下学期学业水平模拟考试数学试题）设全集，，则（ ）
A．B．C．D．
题型01交集的概念及运算
【典例1】（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024高一·全国·）已知集合，，则 ．
【变式1】（2024·辽宁·二模）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（ ）
A．2B．4C．7D．8
【变式3】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ．
题型02根据交集的运算结果求集合或参数
【典例1】（2024·辽宁·二模）已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ．
【典例2】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若且，求实数m的值．
【变式1】（23-24高三上·上海·阶段练习），或，且，则的取值范围是 .
【变式2】（2024届河南省新高考联盟5月联考模拟预测数学试题）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
【变式3】（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
题型03并集的概念及运算
【典例1】（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2024·四川绵阳·模拟预测）设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高三下·四川德阳·期末）已知集合，集合，则的子集个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
【变式2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知集合，则 .
题型04根据并集的运算结果求集合或参数
【典例1】（多选）（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（ ）
A．1B．0C．D．
【典例2】（2024高一·全国）已知集合，
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式1】（2024·安徽阜阳·一模）设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 .
【变式3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式4】（23-24高一上·广东梅州·期末）已知集合.
(1)若，求实数的值及集合；
(2)若且，求实数和满足的关系式.
题型05补集的概念及运算
【典例1】（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知集合，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型06根据补集的运算结果求集合或参数
【典例1】（2024·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．．
(1)若，求实数m的取值范围：
(2)若，求实数m的取值范围．
【变式1】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则 .
【变式2】（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知集合，，求实数的值.
【变式3】（2024高一·全国·专题练习）已知全集；
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【变式4】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
题型07交集、并集、补集的混合运算
【典例1】（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．或
题型08根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数
【典例1】（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，，
(1)若，求，；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【典例2】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，.
(1)求；
(2)若，且，求a的值；
(3)设集合，若C的真子集共有3个，求m的值.
【变式1】（23-24高一上·北京·期中）已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)若，求m的取值范围.
【变式2】（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式3】（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式4】（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）已知全集，集合.
(1)求；
(2)已知集合，若，求实数的取值范围.
题型09容斥原理
【典例1】（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ）
A．20人B．17人C．15人D．12人
【典例2】（多选）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人D．只参加1500米比赛的有1人
【变式1】（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位.
【变式2】（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 .
【变式3】（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为 ．
【典例1】（多选）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．存在，使得
【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于M中的任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.
(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
(2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：；
(3)设，证明A是数域.
【变式1】（23-24高三下·重庆·期中）已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ．
【变式2】（2024·广西·模拟预测）已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性．
(1)判断集合和集合是否具有“包容”性；
(2)若集合具有“包容”性，求的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C．
【变式3】（23-24高三下·北京·阶段练习）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．
(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．
(2)若．证明：A不可能具有性质．
(3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．
【典例1】（多选）（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
【典例2】（23-24高一上·浙江·课后作业）已知全集小于的正整数，，，且，，.
（1）求集合与；
（2）求（其中为实数集，为整数集）.
【变式1】（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）某班45名同学全部参加除草和植树两项劳动，依据表现评定为优秀和合格两个等级，结果如下：
| 优秀 | 合格 | 合计 | |
| 除草 | 15 | ||
| 植树 | 20 | 25 | 45 |
若在两个项目中都“合格”的学生最多为10人，则在两个项目中都优秀的同学最多为 .
【变式2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，．
(1)求和；
(2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出．
【变式3】（23-24高一上·四川南充·阶段练习）设全集，集合，或．
(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)已知集合，若，求a的取值范围．
强化训练
1．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·山东青岛·期中）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·云南昆明·三模）如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山西临汾·三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集D．不是规范数集，不是规范数集
6．（2024·四川成都·三模）设全集，若集合满足，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·河北保定·二模）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（ ）
A．1B．3C．-1或-3D．1或3
二、多选题
9．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，则下列结论正确的是（ ）
A．集合中有6个元素
B．
C．
D．的真子集个数是3
10．（2024高三上·全国·竞赛）设全集为，设是两个集合，定义集合，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2024·湖南岳阳·模拟预测）设集合，则 ．
12．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 .
四、解答题
13．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，或，全集.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数b的取值范围.
14．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设全集为，集合．
(1)求及；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
3．（23-24高一·全国·单元测试）设，，其中，如果，则实数的取值范围 .
4．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空集合，.
(1)当时，求，；
(2)求能使成立的实数的取值范围.
5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）设集合，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若全集，，求实数的取值范围．
1．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若，则{思想政治，历史，生物}；
②若，则{地理，物理，化学}；
③若{思想政治，物理，生物}，则；
④若，则{思想政治，地理，化学}.
其中所有正确结论的序号是 .
2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）非空集合具有下列性质：（1）若，则；（2）若,则,下列判断一定成立的是 .（填题编号）
①；②；③,则；④若，则．
3．（2024·北京丰台·一模）已知集合（，），若存在数阵满足：
①；
②．
则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．
(1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；
(2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．
4．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
5．（23-24高三下·北京·开学考试）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合为“满集”.
(1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；
(2)若集合为“满集”，求的值：
(3)若为满集，，求的最小值.