必修一

第02讲 1.2集合间的基本关系

学习目标

第02讲 1.2集合间的基本关系

课程标准	学习目标
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集; ②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。	1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。 2．在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。 3. 能利用Venn图表达集合间的关系。 4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。

知识清单

知识点01：$venn$图（韦恩图）

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为 $V e nn$ 图。

$V e nn$ 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用 $V e nn$ 图，可以使问题简单明了地得到解决。

对 $V e nn$ 图的理解

(1)表示集合的 $V e nn$ 图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.

(2)用 $V e nn$ 图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.

知识点02：子集

1子集：

一般地，对于两个集合 $A$ ， $B$ ，如果集合 $A$ 中任意一个元素都是集合 $B$ 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 $A$ 为集合 $B$ 的子集

（1）记法与读法：记作 $A \subseteq B$ (或 $B \supseteq A$ )，读作“ $A$ 含于 $B$ ”(或“ $B$ 包含 $A$ ”)

（2）性质：

①任何一个集合是它本身的子集，即 $A \subseteq A$ .

②对于集合 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若 $A \subseteq B$ ，且 $B \subseteq C$ ，则 $A \subseteq C$

（3） $v e nn$ 图表示：

2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别

符号“ $\subseteq$ ”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“ $\in$ ”表示元素与集合之间的从属关系.

知识点03：集合相等

一般地,如果集合 $A$ 的任何一个元素都是集合 $B$ 的元素,同时集合 $B$ 的任何一个元素都是集合 $A$ 的元素,那么集合 $A$ 与集合 $B$ 相等,记作 $A = B$ .也就是说,若 $A \subseteq B$ ,且 $B \subseteq A$ ,则 $A = B$ .

（1） $A = B$ 的 $v e nn$ 图表示

（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关

知识点04：真子集的含义

如果集合 $A \subseteq B$ ，但存在元素 $x \in B$ ，且 $x \in / A$ ，我们称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集;

（1）记法与读法：记作，读作“ $A$ 真包含于 $B$ ”(或“ $B$ 真包含 $A$ ”)

（2）性质：

①任何一个集合都不是是它本身的真子集.

②对于集合 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若，且，则

（3） $v e nn$ 图表示：

知识点05：空集的含义

我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： $\emptyset$

规定：空集是任何集合的子集，即 $\emptyset \subseteq A$ ;

性质：①空集只有一个子集，即它的本身， $\emptyset \subseteq \emptyset$

(2) $A \neq = \emptyset$ ，则

	$\emptyset$ 和 $0$	$\emptyset$ 和 ${0}$	$\emptyset$ 和 ${\emptyset}$
相同点	都表示无	都是集合	都是集合
不同点	$\emptyset$ 表示集合； $0$ 是实数	$\emptyset$ 不含任何元素 ${0}$ 含有一个元素 $0$	$\emptyset$ 不含任何元素 ${\emptyset}$ 含有一个元素，该元素为： $\emptyset$
关系	$0 \in / \emptyset$		或者 $\emptyset \in {\emptyset}$

题型精讲

【即学即练1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ，那么（　　）

A． $0 \subseteq A$ B． $0 \in A$ C． ${1} \in A$ D． ${1, 2, 3} \subseteq A$

【即学即练2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（）

A．B． $M = {1, 0}, N = {(x, y) ∣ x = 1, y = 0}}$

C． $M = {x ∣ x^{2} - 4 x + 4 = 0}}, N = {2}$ D．

【即学即练3】（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合 $A$ 满足 ${0, 1} \subseteq A$  ${0, 1, 2, 3}$ ，则集合 $A$ 的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【即学即练4】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（）

A． $\emptyset \in \emptyset$ B．C． $\emptyset \in {\emptyset}$ D． $\emptyset \subseteq {\emptyset}$

题型01判断两个集合的包含关系

【典例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若 $A = {x ∣ x^{2} = x}$ ，则下列说法正确的是（）

A． ${\emptyset} \subseteq A}$ B． ${1} = A}$

C． ${- 1, 1} \subseteq A}$ D． ${0} \subseteq A}$

【典例2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若 $A = {x ∣ x = \frac{k}{6} + 1, k \in Z}$ ， $B = {x ∣ x = \frac{k}{3} + \frac{1}{2}, k \in Z}$ ， $C = {x ∣ x = \frac{2 k}{3} + \frac{1}{2}, k \in Z}$ ，则这三个集合间的关系是（）

A． $A \subseteq B \subseteq C$ B． $A \subseteq C \subseteq B$

C． $C \subseteq B \subseteq A$ D． $C \subseteq A \subseteq B$

【变式1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（）

① $A \subseteq A$ ；② ${0} \in {0, 1, 2}$ ；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤ $\emptyset$  $A$ ；⑥ ${0, 1, 2} \subseteq {2, 1, 0}$ .

A．1B．2C．3D．5

【变式2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设 $M = {(x ∣ x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4}, k \in Z}$ ， $N = {(x ∣ x = \frac{k}{4} + \frac{1}{2}, k \in Z}$ ，则（）

A． $M = N$ B． $M \subseteq N$ C． $M \supseteq N$ D．无关

题型02 判断子集（真子集）的个数

【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合 $A = {x \in Z ∣ \frac{6}{2 + x} \in N}}$ ，则集合A的真子集个数为（）

A．7个B．8个C．16个D．15个

【典例2】（2024·重庆·三模）已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 5 x + 6 = 0}}$ ， $B = {x ∣ - 1 < x < 5, x \in N}}$ ，则满足 $A \subseteq C$ B的集合 $C$ 的个数为 .

【变式1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合 $A = {1, 2}, B = {2, 3}$ ，则集合 $C = {z ∣ z = x + y}, x \in A, y \in B}$ 的子集个数为（）

A．5B．6C．7D．8

【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合 $M$ 满足 ${1, 2} \subseteq M$  ${1, 2, 3, 4, 5}$ ，这样的集合 $M$ 有（）个

A．6B．7C．8D．9

【变式3】（2024高三·全国·专题练习）满足 ${1}$  $A \subseteq {1, 2, 3}$ 的集合 $A$ 的个数是．

题型03求集合中子集（真子集）

【典例1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若存在一个集合 $M$ ， $M$ 同时满足如下的两个条件：

（1） $M \subseteq {1, 2, 3, 4, 5}$ ；（2）若 $a \in M$ ，则 $6 - a \in M$ .

写出一个满足要求的 $M$ ，非空集合 $M$ 的个数为

【典例2】（23-24高一上·全国·课前预习）已知集合 $M$ 满足 ${1, 2} \subseteq M \subseteq {1, 2, 3, 4, 5}$ ，求所有满足条件的集合 $M$ ．

【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）若集合A满足 ${1, 2} \subseteq A$ ，则集合A所有可能的情形有（）

A．3种B．5种C．7种D．9种

【变式2】（多选）（23-24高三上·湖南·阶段练习）若 ${1, 3}$  $B \subseteq {1, 3, 5, 7}$ ，则B可能为（）

A． ${1, 3}$ B． ${1, 3, 5}$ C．D． ${1, 3, 5, 7}$

【变式3】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）满足 ${1} \subseteq A$ {1，2，3}的所有集合A是．

题型04空集的概念集判断

【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（）

A． ${\emptyset}$ B． ${x \in R ∣ x^{2} + 1 = 0}$

C． ${x ∣1 < x < 2}$ D． ${x ∣ x^{2} + 2 x + 1 = 0}$

【典例2】（多选）（23-24高一上·海南儋州·期末）下列关系中表述正确的是（）

A． $0 \in {x^{2} = 0}$ B． $\emptyset \subseteq {1, 2, 3}$ C． $0 \in \emptyset$ D． $0 \in N$

【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：① ${a, b} = {b, a}$ ；② ${a, b} \subseteq {b, a}$ ；③ $\emptyset = {\emptyset}$ ；④；⑤ $\emptyset \subseteq {0}$ ；⑥ $0 \in {0}$ ．其中不正确的是（）

A．①③B．②④⑤C．③④D．①②⑤

【变式2】（多选）（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）下列关于空集的说法中，正确的有（）

A． $0 \in \emptyset$ B． $\emptyset$ ⫋ $\emptyset$ C． $\emptyset \in {\emptyset}$ D． $\emptyset \subseteq {\emptyset}$

题型05空集的性质及应用

【典例1】（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 ${x \in R ∣∣ a ∣ \leq x \leq 2}}$ 为空集，则实数 $a$ 的取值范围是 .

【典例2】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合 $A = {x \in R ∣ m x^{2} - 2 x + 1 = 0}$ ，在下列条件下分别求实数m的取值范围：

(1) $A = \emptyset$ ；

(2) $A$ 恰有一个元素.

【变式1】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合 $Q = {x ∣ k + 1 \leq x \leq 2 k - 1} = \emptyset$ ，则实数k的取值范围是 .

【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若集合，则实数a的取值范围是 .

题型06判断两个集合是否相等

【典例1】（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 $M = {x ∣ x = 5 k - 2, k \in Z}, P = {x ∣ x = 5 n + 3, n \in Z},$ $S = {x ∣ x = 10 m + 3, m \in Z}$ 之间的关系是（　　）

A． $S$  $P = M$ B． $S = P$  $M$ C． $M$  $S$  $P$ D． $P = M$  $S$

【典例2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 $A = {a ∣ a = 3 n + 2, n \in Z}}, B = {b ∣ b = 3 k - 1, k \in Z}}, C = {c ∣ c = 6 m + 2, m \in Z}}$

(1)证明： $C \subset B$

(2)证明 $A = B$

【变式1】（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知 $M = {y \in R ∣ y = ∣ x ∣}$ ， $N = {x \in R ∣ x = m^{2}}$ ，则M N （填“ $\subseteq$ ”或“ $\supseteq$ ”或“ $=$ ”或“ $\neq =$ ” ）.

【变式2】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合 $M = {(x ∣∣ x - 1∣ < 2, x \in Z}$ ， $N = {(y ∣ y = - x^{2} + 2 x + 1, y \in N}$ ，则集合M与N的关系是 .

题型07根据两个集合相等求参数

【典例1】（2024高一·全国）已知集合 $A = {a, a q, a q^{2}}, B = {a - d, a, a + d}$ ，其中 $a \neq = 0, a \in R$ ，若 $A = B$ ，则 $q =$ ．

【典例2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，求 $a + b =$ ．

【变式1】（2024高一·全国）已知 $a \in R, b \in R$ ，若集合，则 .

【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知集合 $A = {1, 2, a}, B = {1, 2, a^{2} - 2}$ ，若 $A = B$ ，则 $a =$ .

题型08根据集合的包含关系求参数

【典例1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合 $A = {2, 6}$ .

(1)若集合 $B = {a + 1 ， a^{2} - 23}$ ，且 $A = B$ ，求 $a$ 的值；

(2)若集合 $C = {x ∣ a x^{2} - x + 6 = 0}}$ ，且 $A$ 与 $C$ 有包含关系，求 $a$ 的取值范围.

【典例2】（23-24高一上·湖南怀化·期末）已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 5 x + 6 = 0}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - 5 x + a = 0}$ .若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

【变式1】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合 $A = {x ∣4 - 2 k < x < 2 k - 8}$ ， $B = {x ∣ - k < x < k}$ ，

(1)若 $A \subseteq B$ ，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)若 $B$  $A$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

【变式2】（23-24高一上·重庆万州·阶段练习）已知 $A = {a + 2, (a + 1)^{2}, a^{2} + 3 a}$ ， $B = {4}$ ，若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的值.

【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 $M = {x ∣2} x^{2} - x - 6 = 0}$ ， $N = {x ∣ a x - 2 = 0}}$ ，且，求实数a的值.

【变式4】（23-24高一上·福建·阶段练习）已知集合 $M = {x ∣ - 2 \leq x \leq 5}}$ .

(1)若 $N = {x ∣ m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}}$ ， $N \subseteq M$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)若 $N = {x ∣ m - 6 \leq x \leq 2 m - 1}}$ ， $M \subseteq N$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

题型09 新定义题

【典例1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合 $M = {x ∣ x = a + 2 b}, a, b \in Q, x \neq = 0}$ ，在下列集合中：

① ${x ∣ x = 2 t, t \in M}}$ ；② ${x ∣ x = \frac{1}{t}}, t \in M}$ ；

③ ${x ∣ x = x_{1} + x_{2}}, x_{1} \in M, x_{2} \in M}$ ；④ ${x ∣ x = x_{1} x_{2}}, x_{1} \in M, x_{2} \in M}$ ．

与集合M相等的集合序号是．

【典例2】（23-24高三上·北京·开学考试）对于平面上的两个点 $M (a, b)$ ， $N (c, d)$ ，若满足① $a \geq c$ ，② $b \geq d$ ，③前面两个不等式中至少有一个“ $=$ ”不成立，则称 $M$ 是相对于 $N$ 的一个优先点，记作“ $M > N$ ”. 已知点集 $Ω = {((x, y) ∣0 \leq x \leq n, 0 \leq y \leq n, x, y, n \in N^{*}}$ .

（Ⅰ）若 $M, N \in Ω$ ， $n = 2$ ，则可以构成组优先点；

（Ⅱ）若点集 $Γ \subseteq Ω$ ，且集合 $Γ$ 中的任意两个点都不能构成一组优先点，则集合 $Γ$ 中的元素最多可以有个．

【变式1】（多选）（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合 $B$ ，如果满足以下四个条件：

① $B \subseteq {(a, b) ∣ a \in A, b \in A}}$

② $\forall a \in A, (a, a) \in B$

③ $\forall a, b \in A$ ，若 $(a, b) \in B$ 且 $(b, a) \in B$ ，则 $a = b$

④ $\forall a, b, c \in A$ ，若 $(a, b) \in B$ 且 $(b, c) \in B$ ，则 $(a, c) \in B$

就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（）

A．设 $A = {1, 2}$ ，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合 $B$ 共有4个

B．设 $A = {1, 2, 3}$ ，则集合是集合A的一个“偏序关系”

C．设 $A = {1, 2, 3}$ ，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个

D． $R^{^{'}} = {(a, b) ∣ a \in R, b \in R, a \leq b}}$ 是实数集 $R$ 的一个“偏序关系

【变式2】（23-24高一上·上海·期中）已知正整数 $n \geq 2$ ，对集合 ${1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n}$ 及其每一个非空子集 $X$ ，记 $X = {x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{k}}$ ，其中 $x_{1} > x_{2} > \cdot \cdot \cdot > x_{k}$ ，定义一个运算“交替和” $S_{X} = x_{1} - x_{2} + x_{3} \cdot \cdot \cdot + (- 1)^{k + 1} x_{k}$ .例如：对于集合 $X = {9, 6, 4, 2, 1}$ ， $S_{X} = 9 - 6 + 4 - 2 + 1 = 6$ .则当 $n = 7$ 时，集合 ${1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n}$ 的所有子集的“交替和”的总和为 .

【变式3】（23-24高一上·江西·期中）已知满足：①（ $i = 1$ ，2，3，4）；②，均有 $x_{i} \neq = x_{j}$ ；若，其中 $y_{1} = 0$ ， $y_{2} = 1$ ， $y_{3} = 2$ ， $y_{4} = 3$ ，且集合 $M = {z ∣ z} = ∣ x_{i} - y_{i} ∣}$ 有7个真子集，则满足条件的A的个数为 .

【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合 $A = {(x ∣ - 2 \leq x \leq 5}$ ．

(1)若 $B \subseteq A$ ， $B = {x ∣ m + 1 \leq x \leq 2 m - 1, m}$ 为常数 $}$ ，求实数m的取值范围．

(2)若 $A \subseteq B$ ， $B = {x ∣ m + 1 \leq x \leq 2 m - 1, m}$ 为常数 $}$ ，求实数m的取值范围．

(3)若 $B = {x ∣ m + 1 \leq x \leq 2 m - 1, m}$ 为常数 $}$ ，是否存在实数m，使得 $A = B$ ？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

【典例2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x \leq 5}}$ ， $B = {x ∣ m + 1 \leq x \leq 2 m -} 1}$ ，且 $B \subseteq A$ ．求实数m的取值范围并用集合表示．

【变式1】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合 $A = {x ∣1 < x < 2}}$ ， $B = {x ∣ x < a}}$ .若 $A \subseteq B$ ，则a的范围是（）

A． $a \geq 1$ B．C． $a \geq 2$ D． $a \leq 2$

【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x \leq 5}$ ， $B = {x ∣ m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ，若 $B$  $A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

【典例1】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 5}$ ， $B = {(x ∣ m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ .

(1)若 $B \subseteq A$ ，求实数m的取值范围；

(2)若 $x \in Z$ ，求A的非空真子集个数.

【典例2】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）集合 $P = {x ∣ x^{2} - 3 x + b = 0, x \in R}, Q = {- 4, - 1, 1}$ ．

(1)若，存在集合M使得 $P$  $M$  $Q$ ，求出这样的集合M；

(2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由．

【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合 $A = {x ∣ a x = 2, a \in N}$ ，若 $A \subseteq N$ ，则所有 $a$ 的取值构成的集合为（）

A． ${1, 2}$ B．C． ${0, 1, 2}$ D． $N$

【典例2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合 $A = {(x ∣ - 2 \leq x \leq 5}$ ， $B = {(x ∣ m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ．若 $B \subseteq A$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A． $- 3 \leq m \leq 3$ B． $2 \leq m \leq 3$ C． $m \leq 3$ D． $m \geq 2$

【变式1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）设集合 $A = {x ∣ x^{2} + 5 x + 6 = 0}, B = {x ∣ m x + 1 = 0}$ ，若 $B$ 是 $A$ 的真子集，则 $m$ 的取值集合为（）

A．B． ${0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}}$ C． ${0, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}}$ D． ${\frac{1}{2}, \frac{1}{3}}$

【变式2】（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合 $A = {x ∣ - 7 \leq 2 x - 3 \leq 3}}$ ， $B = {x ∣3 m - 2 < x < m + 1}}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数m的取值范围是（）

A． ${m ∣ m \geq \frac{3}{2}}}$ B． ${m ∣ m > \frac{3}{2}}}$ C． ${m ∣ m \geq 0}}$ D． ${m ∣ m > 0}}$

强化训练

A夯实基础

一、单选题

1．（2024·北京海淀·二模）已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {x ∣ a \leq x < 3}$ .若 $A \subseteq B$ ，则 $a$ 的最大值为（）

A．2B．0C．D．-2

2．（2024·全国·模拟预测）已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - a x = 0}, B = {2 a, 0, 1}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a$ 的值可以为（）

A．1B．0C．0或1D．1或2

3．（2024·河南驻马店·一模）已知集合 $M = {x ∣ x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4}}, k \in Z}, N = {x ∣ x = \frac{k}{4} + \frac{1}{2}, k \in Z}}, x_{0} \in M$ ，则 $x_{0}$ 与 $N$ 的关系是（）

A． $x_{0} \in N$ B． $x_{0} \in / N$

C． $x_{0} \in M$ 且 $x_{0} \in / N$ D．不能确定

4．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合 $A = {x ∣1 < x < 2}}$ ， $B = {x ∣ x \leq a}}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则a的取值范围是（）

A． $a \geq 2$ B． $a > 2$ C． $a \geq 1$ D． $a > 1$

5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知集合 $A = {1, 3, a^{2}}$ ， $B = {1, a + 2}$ ， $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A．2B．或2C．1或2D．0或2

6．（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0}, B = {x ∣ - 1 < x < 5, x \in N}$ ，则满足 $A$ ⫋ $C \subseteq B$ 的集合 $C$ 的个数为（）

A．8B．7C．4D．3

7．（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {(x, y) ∣ x \in A, y \in A}$ ,且 $(x y \in A}$ ，则集合 $B$ 的真子集的个数为（）

A．5B．15C．31D．32

8．（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合 $A = {- 1, 2}$ ， $B = {x ∣ a x^{2} = 2, a \geq 0}$ ，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则 $a$ 的取值集合为（）

A．B． ${0, 2}$ C． ${0, \frac{1}{2}, 2}$ D． ${\frac{1}{2}, 2}$

二、多选题

9．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合 $P = {x ∣ (x - 3) (x - 2) = 0}$ ，则下列关系式表示正确的有（）

A． ${3} \in P$ B． $- 2 \in P$ C． $\emptyset \subseteq P$ D． $P \subseteq {2, 3}$

10．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（）

A．B． $M = \emptyset, N = {0}$

C． $M = {0, 1, 2}, N = {x \in N ∣ - 1 < x < 3}$ D． $M = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0}, N = {y ∣ y^{2} - 3 y + 2 = 0}$

三、填空题

11．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合 $M = {x \in N ∣2 x - 3 < 2}}$ ，则 $M$ 的非空子集的个数是．

12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合 $M = {x ∣ a x^{2} + 2 x - 3 = 0}}$ 至多有1个真子集，则 $a$ 的取值范围是．

四、解答题

13．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合 $P = {x ∣ a + 1 \leq x \leq 2 a + 1}}$ ， $Q = {x ∣ - 2 \leq x \leq 5}}$ ．若 $P \subseteq Q$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

14．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知集合 $A = {2, 6}$

(1)若集合 $B = {a + 1, a^{2} - 23},$ 且 $A = B,$ 求实数 $a$ 的值

(2)若集合 $C = {x ∣ a x^{2} - x + 6 = 0},$ 且 $C \subseteq A,$ 求实数 $a$ 的取值范围

B能力提升

1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合 $I = {1, 3, 5, 7}$ ，若非空集合A同时满足：① $A \subseteq I$ ；② $∣ A ∣ \leq min (A)$ ，（其中 $∣ A ∣$ 表示A中元素的个数， $min (A)$ 表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（）

A．7B．8C．9D．10

2．（多选）（23-24高一上·山东·期中）已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 6 x + 5 = 0}, B = {x ∣ a x^{2} - 2 a x - 1 = 0}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 可能的取值是（）

A． $- \frac{1}{5}$ B．0C．-1D． $\frac{1}{15}$

3．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知集合 $A$ 满足 ${1, 2} \subseteq A$  ${0, 1, 2, 3, 5}$ ，则满足条件的集合A的个数是 .

4．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合 $P = {x \in R ∣ x^{2} - 3 x + b = 0}}, Q = {x \in R ∣ (x + 1) (x^{2} + 3 x - 4) = 0}}$ .

(1)若，存在集合 $M$ 使得 $P$ 为 $M$ 的真子集且 $M$ 为 $Q$ 的真子集，求这样的集合 $M$ ；

(2)若集合 $P$ 是集合 $Q$ 的一个子集，求 $b$ 的取值范围.

C新定义题型

1．（21-22高一上·河南·阶段练习）规定：在整数集 $Z$ 中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即 $[k] = {(7 n + k ∣ n \in Z}$ ，，给出如下四个结论：① $2021 \in [5]$ ；② $- 3 \in [3]$ ；③若整数a，b属于同一“家族”，则 $a - b \in [0]$ ；④若 $a - b \in [0]$ ，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

2．（23-24高一上·北京·阶段练习）当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合 $A = {- 1, \frac{1}{2}, 1}$ ， $B = {x ∣ x^{2} = a}$ .若 $A$ 与 $B$ 构成“全食”，则 $a$ 的取值范围是；若 $A$ 与 $B$ 构成“偏食”，则 $a$ 的取值范围是 .

3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合 $S = {1, 2, 3, \dots, 1000}$ ，设 $A$ 是 $S$ 的至少含有两个元素的子集，对于 $A$ 的任意两个不同的元素 $x 、 y (x > y)$ ，若 $x - y$ 都不能整除 $x + y$ ，则称集合 $A$ 是 $S$ 的“好子集”.

(1)判断数集 $P = {2, 4, 6, 8}$ 与 $Q = {1, 4, 7}$ 是否是集合 $S$ 的“好子集”，并说明理由；

(2)证明：若 $A$ 是 $S$ 的“好子集”，则对于 $A$ 中的任意两个不同的元素 $x 、 y (x > y)$ ，都有 $x - y \geq 3$ ；

(3)求集合 $S$ 的“好子集” $A$ 所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的 $A$ .

4．（21-22高一上·上海奉贤·期中）定义：若任意 $m, n \in A$ （m，n可以相等），都有 $1 + mn \neq = 0$ ，则集合 $B = {x ∣ x = \frac{m + n}{1 + mn}, m, n \in A}}$ 称为集合A的生成集；

(1)求集合 $A = {3, 4}$ 的生成集B；

(2)若集合 $A = {a, 2}$ ，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；

(3)若集合 $A = (- 1, 1)$ ，A的生成集为B，求证 $A = B$ .