第01讲 1.1集合的概念

【即学即练1】（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ）

【即学即练2】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知$x\in \{1,2,x^2\}$，则$x$的取值为（   ）

【即学即练3】（2020高三·全国·专题练习）用适当的方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集.

【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　）

【典例2】（23-24高一上·河北·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ）

【变式1】（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ）

【变式2】（多选）（23-24高一上·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（    ）

【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确．

【典例2】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ）

【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ）

【变式2】（多选）（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　）

【变式3】（多选）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合$A=\{y|y=x^2+1\}\}$，集合$B=\{(x,y)|y=x^2+1\}\}$，下列关系正确的是（    ）

【典例1】（多选）（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若$x,y\in A$，则$\frac{x}{y}\in A$；②若$x,y\in A$，则$x+y\in A$下列判断中，正确的有（    ）

【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A是由元素x组成的，其中$x=m+n\sqrt{2}$，m，$n\in Z$．

【变式1】（2024·河南驻马店·一模）已知集合$A=\{x|x(x+1)=0\}\}$，那么下列结论正确的是（    ）

【变式2】（多选）（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知$x,y,z$为非零实数，代数式$\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+\frac{xyz}{|xyz|}$的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ）

【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式$ax-1>0$的解集为M，$2\in M$且$1\notin M$，则实数a的取值范围是 .

【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合$A$的元素全为实数，且满足：若$a\in A$，则$\frac{1+a}{1-a}\in A$．

【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合$A=\{0,m,m^2-3m+2\}$，且$2\in A$，则实数$m$为（    ）

【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合$A=\{x-2,x+5,12\}$，且$-3\in A$，求$x$的值 .

【典例1】（多选）（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）若集合$A=\{a^2,2-a,4\}$中含有3个元素，则实数$a$的取值可以是（    ）

【典例2】（23-24高一上·上海奉贤·期末）集合$A=\{x|(x-1)(x^2-4x+a)=0,a\in R\}\}$中恰好有两个元素，则实数$a$满足的条件是 .

【变式1】（2024高一·全国·课后作业）由$a^2$，$2-a$，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ）

【变式2】（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）若$3\in \{a-1,a^2-13\}$，则$a=$ .

【典例1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合$\{\frac{6}{9-x}\in N|x\in N\}$的结果为 .

【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：

【变式1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）集合$\{x\in N^{\ast }|x<3\}$用列举法可表示为（    ）

【变式2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用列举法表示集合$A=\{x\in Z\mid 0<x\le 2\}$可以是$A=$ ．

【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合．

【典例1】（23-24高一上·甘肃定西·开学考试）解不等式组$\{x+3(x-1)<5\frac{x+1}{3}\ge x\}$并把解集在数轴上表示出来.

【典例2】2．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：

【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：

【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合.

【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为$\{a,\frac{b}{a},1\}$，也可以示为$\{a^2,a+b,0\}$，则$a^{2023}+b^{2024}$的值为 .

【典例2】（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）已知集合$A=\{x\in R\mid x^2+ax+1=0\},B=\{x\in R\mid x^2+2x-a+3=0\}$， 若$A=B$， 则实数$a$的取值范围是 ．

【变式1】（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，$b\in R$，若集合$\{1,a+b,a\}=\{0,\frac{b}{a},b\}$，则$a^2-b=$ .

【变式2】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）设全集$U=R$，集合$A=\{3,-1\}$，$B=\{m^2-2m,-1\}$，且$A=B$，则实数$m=$ ．

【典例1】（多选）（23-24高一上·福建·期中）集合$A=\{x|a{x}^2-x+a=0\}\}$只有一个元素，则实数$a$的取值可以是（    ）

【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合$A=\{x|a{x}^2-3x+2=0\}$．

【变式1】（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）若集合$A=\{x\mid a{x}^2-x-2=0\}$中至多有一个元素，则实数$a$的取值范围是 .（用集合表示）

【变式2】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合$A=\{x|a{x}^2-2x+2=0,x\in R,a\in R\}$

【变式3】（23-24高一上·广西贺州·阶段练习）已知集合$A=\{x\in R|(a-1)x^2-2x+1=0\}$，a为实数.

【典例1】（23-24高二下·河南焦作·期末）有下列四个命题中正确命题的个数是（    ）

【典例2】（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）下列关系中，（1）$-\frac{4}{3}\in R$；（2）$\sqrt{3}\notin Q$；（3）；（4）$-5\notin Z$；（5）$0\in N$，正确的个数为（    ）

【变式1】（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）下列说法正确的有（    ）

【典例1】（多选）（23-24高一上·江苏宿迁·期中）设集合$X$是实数集$R$的子集，如果点$x_0\in R$满足：对任意$a>0$，都存在$x\in X$，使得，称$x_0$为集合$X$的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ）

【典例2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集$C$的一个非空子集，如果$\forall x,y\in S$，总有，则称S是数环．设$F$是数环，如果①$F$内含有一个非零复数；②且$y\ne 0$，有，则称$F$是数域．由定义知有理数集$Q$是数域．

【变式1】（23-24高一上·上海·期末）已知集合$S$是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当$a=m+n$（其中正整数$m$、$n\in S$且$m\ne n$）或$a=p+q$（其中正整数、$q\notin S$且$p\ne q$）．现有如下两个命题：①$5\in S$；②集合$\{(x|x=3n,n\in N^{\ast }\}\subseteq S$．则下列判断正确的是（    ）

【变式2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知有限集合$A=\{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n\}$，定义集合$B=\{a_i+a_j|1\le i<j\le n,i,j\in N^{\ast }\}\}$中的元素个数为集合$A$的“容量”，记为$L(A)$．若集合$A=\{x\in N^{\ast }|1\le x\le 4\}\}$，则$L(A)=$ ；若集合$A=\{x\in N^{\ast }|1\le x\le 2n,n\in N^{\ast }\}\}$，且$L(A)=8089$，则正整数$n$的值是 ．

【变式3】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知$M$是满足下列条件的集合：①$0\in M,1\in M$；②若$x,y\in M$，则$x-y\in M$；③若$x\in M$且$x\ne 0$，则$\frac{1}{x}\in M$.

【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）用集合$A$表示关于$x$的方程$k{x}^2-8x+16=0$的根组成的集合．

【典例2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合$A=\{x\mid a{x}^2-3x+2=0,a\in R\}$．问是否存在$a$，使

【变式1】（2024高一·全国·专题练习）已知集合$A=\{x|a{x}^2+bx+1=0,a\in R,b\in R\}\}$，求：

【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合$A=\{(x|a{x}^2-3x-4=0\}\}\}$.

1．（22-23高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（    ）．

2．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ）

3．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合$A=\{x|x^2-x=0\}$，则与集合$A$的关系为（   ）

4．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若集合$A=\{1,2,3\},B=\{x+y\mid x\in A,y\in A\}$，则$B$中的元素个数为（    ）

5．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（    ）

6．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合$P$有三个元素.若$0\in P$，则实数$a$的值为（    ）

7．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合$A=\{x\in R|a{x}^2+2x+1=0\}\}$，其中$a\in R$.若1是集合$A$中的一个元素，则集合$A=$（    ）

8．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合$A=\{x\}|x=4k,k\in Z|$，$B=\{x|x=4m+1\},m\in Z\}$，$C=|x\}|x=4n+2,n\in Z|$，$D=\{x|x=4t+3\},t\in Z\}$，若$a\in B$，$b\in C$，则下列说法正确的是（    ）

9．（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）若集合$A=\{x|(k-1)x^2+(k+2)x+3=0\}$有且只有一个元素，则实数$k$的值可以为（    ）

10．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合$A=\{x\in Z|\frac{m}{x}\in Z,-9\le m\le 9\}$，则满足$A$中有8个元素的$m$的值可能为（    ）

11．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知$0\in \{2,x^2-1\}$，则实数$x=$ ．

12．（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知集合$A=\{x\mid a\le x\le 2-a\}(a\in R)$中仅有3个整数，则$a$的取值范围为 ．

13．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知$A=\{x|x=3k,k\in Z\}$，$B=\{x|x=3k+1,k\in Z\}$．

14．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合$A=\{x\mid a{x}^2+ax+1=0,x\in R\}$.

1．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集$A$满足条件:若$a\in A$，则$\frac{1+a}{1-a}\in A$，则集合$A$中所有元素的乘积为（    ）

2．（2024高一上·全国·专题练习）已知$M=\{a-3,2a-1,a^2+1\},N=\{-2,4a-3,3a-1\}$，若$M=N$，则实数$a$的值为 ．

3．（2024高三·全国·专题练习）设集合$A=\{2,3,a^2-3a,a+\frac{2}{a}+7\}$，$B=\{|a-2|,3\}$，已知$4\in A$且$4\notin B$，则$a$的取值集合为 .

1．（2024高三·全国·专题练习）当一个非空数集$G$满足“如果$a,b\in G$，则$a+b,a-b,ab\in G$，且$b\ne 0$时，$\frac{a}{b}\in G$”时，我们称$G$就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域$G$有非零元素，则；③集合$P=\{x|x=2k,k\in Z\}\}$是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（    ）

2．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知集合M为非空数集，且同时满足下列条件：

3．（23-24高一上·北京房山·期中）已知非空集合$A\subseteq R$．用$|A|$表示集合$A$中元素的个数．设$S=\{(a|\}a=x+y,x\in A,y\in A$且$(x\ne y\}$，$T=\{(a|\}a=x-y,x\in A,y\in A$且$(x>y\}$．

4．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知n元有限集$A=\{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n\}$（$n\ge 2$，$n\in Z$），若$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=a_1\times a_2\times a_3\times \cdots \times a_n$，则称集合A为“n元和谐集”.